Страница 133 номер 271, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
монет в кармане — 8
двухрублёвых — 3
пятирублёвых — 5
вынимает на ощупь 3 монеты

Найти: вероятность того, что среди оставшихся в кармане монет: а) ровно 2 двухрублёвые; б) нет ни одной двухрублёвой.

Решение:

Сергей вынимает монеты на ощупь, поэтому все наборы из трёх вынутых монет равновозможны. Каждому набору вынутых монет отвечает ровно один набор оставшихся, значит, равновозможны и все наборы из пяти оставшихся монет. Спрашивают именно про оставшиеся, поэтому выборкой будем считать их: в кармане остаётся \(8 - 3 = 5\) монет.

Совокупность — \(N = 8\) монет. Успехом считаем двухрублёвую монету: успешных элементов \(K = 3\), неудачных (пятирублёвых) \(N - K = 5\). Объём выборки \(n = 5\), а число двухрублёвых монет среди оставшихся обозначим \(k\). Вероятность события \(A_k\) «в кармане осталось ровно \(k\) двухрублёвых монет» равна

\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_3^k \cdot C_5^{5-k}}{C_8^5}.\]

Контроль по сумме индексов: сверху \(k + (5 - k) = 5\), снизу \(3 + 5 = 8\) — формула составлена верно.

Знаменатель у обоих пунктов один и тот же, и по симметричности его удобно считать так:

\[C_8^5 = C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56.\]

а) Здесь \(k = 2\): из трёх двухрублёвых монет в кармане остались две, а из пяти пятирублёвых — три.

\[\mathrm{P}(A_2) = \frac{C_3^2 \cdot C_5^3}{C_8^5} = \frac{3 \cdot 10}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0{,}536.\]

б) Здесь \(k = 0\): двухрублёвых монет не осталось ни одной, значит, все пять оставшихся монет пятирублёвые, а все три двухрублёвые вынуты.

\[\mathrm{P}(A_0) = \frac{C_3^0 \cdot C_5^5}{C_8^5} = \frac{1 \cdot 1}{56} = \frac{1}{56} \approx 0{,}018.\]

Ответ: а) \(\frac{15}{28} \approx 0{,}536\); б) \(\frac{1}{56} \approx 0{,}018\).