Страница 129 номер 258, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
В серии \(n\) испытаний Бернулли, \(n \geqslant 10\). Выразите число элементарных событий, которые благоприятствуют появлению:
а) от 1 до 3 успехов; б) не более 2 успехов; в) менее 3 неудач.
Ровно \(k\) успехам в серии из \(n\) испытаний благоприятствуют бинарные последовательности длины \(n\) ровно с \(k\) единицами, а их число равно \(C_n^k\). Оговорка \(n \geqslant 10\) нужна, чтобы все встречающиеся ниже числа сочетаний были осмысленны.
а) «От 1 до 3 успехов» — это 1, 2 или 3 успеха, случай без успехов сюда не входит; общий знаменатель слагаемых равен 6:
\[\begin{aligned} &C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = n + \frac{n(n - 1)}{2} + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} = {} \\ &= \frac{6n + 3n(n - 1) + n(n - 1)(n - 2)}{6} = {} \\ &= \frac{6n + 3n^2 - 3n + n^3 - 3n^2 + 2n}{6} = \frac{n^3 + 5n}{6}. \end{aligned}\]
б) «Не более 2 успехов» — это 0, 1 или 2 успеха, случай без успехов входит в счёт:
\[C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 1 + n + \frac{n(n - 1)}{2} = \frac{2 + 2n + n^2 - n}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}.\]
в) «Менее 3 неудач» — это 0, 1 или 2 неудачи. Последовательностей с двумя нулями столько же, сколько с двумя единицами: и те и другие задаются выбором двух мест из \(n\); то же верно для одного нуля и для нуля нулей. Поэтому сумма здесь та же, что в пункте б): \(\frac{n^2 + n + 2}{2}\).
Проверка: при \(n = 10\) в пункте а) прямой счёт даёт \(10 + 45 + 120 = 175\) и выражение \(\frac{1000 + 50}{6} = 175\); в пункте б) — \(1 + 10 + 45 = 56\) и \(\frac{100 + 10 + 2}{2} = 56\).
Ответ: а) \(\frac{n^3 + 5n}{6}\) элементарных событий; б) \(\frac{n^2 + n + 2}{2}\) элементарных событий; в) \(\frac{n^2 + n + 2}{2}\) элементарных событий — столько же, сколько в пункте б).
В серии \(n\) испытаний Бернулли, \(n \geqslant 10\). Выразите число элементарных событий, которые благоприятствуют появлению:
а) от 1 до 3 успехов; б) не более 2 успехов; в) менее 3 неудач.
Элементарное событие серии из \(n\) испытаний — бинарная последовательность длины \(n\): единица означает успех, нуль — неудачу. Ровно \(k\) успехам благоприятствуют последовательности ровно с \(k\) единицами, и по теореме о бинарных последовательностях их число равно \(C_n^k\). Оговорка \(n \geqslant 10\) нужна для того, чтобы все встречающиеся ниже числа сочетаний были осмысленны.
а) «От 1 до 3 успехов» — это ровно 1, ровно 2 или ровно 3 успеха; случай, когда успехов нет вовсе, сюда не входит. Числа складываются, и каждое сочетание выражается через множители:
\[C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 = n + \frac{n(n - 1)}{2} + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}.\]
Общий знаменатель этих трёх дробей равен 6:
\[\begin{aligned} &n + \frac{n(n - 1)}{2} + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} = \frac{6n + 3n(n - 1) + n(n - 1)(n - 2)}{6} = {} \\ &= \frac{6n + 3n^2 - 3n + n^3 - 3n^2 + 2n}{6} = \frac{n^3 + 5n}{6}. \end{aligned}\]
б) «Не более 2 успехов» — это 0, 1 или 2 успеха, и случай, когда успехов нет вовсе, входит в счёт:
\[C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 1 + n + \frac{n(n - 1)}{2} = \frac{2 + 2n + n^2 - n}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}.\]
в) «Менее 3 неудач» — это 0, 1 или 2 неудачи. Последовательностей ровно с двумя нулями столько же, сколько последовательностей ровно с двумя единицами: и те и другие задаются выбором двух мест из \(n\), а значит, их поровну — по \(C_n^2\). То же верно для одного нуля и для нуля нулей. Поэтому сумма здесь та же самая, что в пункте б), и ответ пункта в) совпадает с ответом пункта б): он равен \(\frac{n^2 + n + 2}{2}\).
Проверка: при \(n = 10\) прямой счёт даёт в пункте а) \(10 + 45 + 120 = 175\), и полученное выражение даёт столько же: \(\frac{1000 + 50}{6} = 175\). В пункте б) прямой счёт даёт \(1 + 10 + 45 = 56\), и выражение даёт \(\frac{100 + 10 + 2}{2} = 56\).
Ответ: а) \(\frac{n^3 + 5n}{6}\) элементарных событий; б) \(\frac{n^2 + n + 2}{2}\) элементарных событий; в) \(\frac{n^2 + n + 2}{2}\) элементарных событий — столько же, сколько в пункте б).
