Страница 123 номер 249, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
патронов — 8
выстрелы до первого попадания
а) \(p = 0{,}4\); б) \(p = 0{,}25\) — вероятность попадания при одном выстреле

Найти: вероятность того, что мишень будет поражена.

Решение:

Каждый выстрел — испытание Бернулли: стрелок либо попадает в мишень, либо промахивается. Вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же, а выстрелы не влияют друг на друга, поэтому испытания одинаковы и независимы; после первого попадания стрельба прекращается.

Патронов всего 8, значит, мишень будет поражена тогда и только тогда, когда успех наступит не позже восьмого выстрела. Противоположное событие наступает, только если все восемь выстрелов неудачны, и вероятность восьми неудач подряд равна \(q^8\). Следовательно, вероятность поражения мишени равна \(1 - q^8\).

а) При \(p = 0{,}4\) вероятность промаха \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\):

\[\mathrm{P} = 1 - q^8 = 1 - 0{,}6^8 = 1 - 0{,}01679616 = 0{,}98320384 \approx 0{,}983.\]

б) При \(p = 0{,}25\) вероятность промаха \(q = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 = \frac{3}{4}\):

\[\mathrm{P} = 1 - q^8 = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^8 = 1 - \frac{6561}{65536} = \frac{58975}{65536} \approx 0{,}9.\]

Ответ: а) \(0{,}98320384 \approx 0{,}983\); б) \(\dfrac{58975}{65536} \approx 0{,}9\).