Страница 148 номер 313, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная величина \(X\) подчиняется геометрическому распределению \(G(0{,}1)\). Найдите: а) \(\mathrm{P}(X = 2)\); б) \(\mathrm{P}(X = 3)\); в) \(\mathrm{P}(X > 1)\); г) \(\mathrm{P}(X \geqslant 3)\).
\(X \sim G(0{,}1)\): испытания одинаковы и независимы, \(p = 0{,}1\), \(q = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\), и \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}9^{k-1} \cdot 0{,}1\).
а) Первое испытание неудачно, второе успешно: \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}09\).
б) Первые два испытания неудачны, третье успешно: \(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}9^2 \cdot 0{,}1 = 0{,}81 \cdot 0{,}1 = 0{,}081\).
в) Событие \(X > 1\) значит, что первое испытание неудачно, поэтому \(\mathrm{P}(X > 1) = q = 0{,}9\).
г) Событие \(X \geqslant 3\) значит, что первые два испытания неудачны, поэтому \(\mathrm{P}(X \geqslant 3) = q^2 = 0{,}9^2 = 0{,}81\).
Ответ: а) \(0{,}09\); б) \(0{,}081\); в) \(0{,}9\); г) \(0{,}81\).
Случайная величина \(X\) подчиняется геометрическому распределению \(G(0{,}1)\). Найдите: а) \(\mathrm{P}(X = 2)\); б) \(\mathrm{P}(X = 3)\); в) \(\mathrm{P}(X > 1)\); г) \(\mathrm{P}(X \geqslant 3)\).
Запись \(X \sim G(0{,}1)\) значит, что проводится серия одинаковых независимых испытаний до первого успеха, вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна \(p = 0{,}1\), а \(X\) — число сделанных испытаний. Вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\), и \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}9^{k-1} \cdot 0{,}1\).
а) Событие \(X = 2\) значит, что первое испытание неудачно, а второе успешно: \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}09\).
б) Событие \(X = 3\) значит, что первые два испытания неудачны, а третье успешно: \(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}9^2 \cdot 0{,}1 = 0{,}81 \cdot 0{,}1 = 0{,}081\).
в) Событие \(X > 1\) значит, что одного испытания не хватило, то есть первое испытание неудачно. Его вероятность и есть вероятность неудачи: \(\mathrm{P}(X > 1) = q = 0{,}9\).
г) Событие \(X \geqslant 3\) значит, что потребовалось не меньше трёх испытаний, то есть первые два испытания неудачны. Испытания независимы, поэтому \(\mathrm{P}(X \geqslant 3) = q^2 = 0{,}9^2 = 0{,}81\).
Ответ: а) \(0{,}09\); б) \(0{,}081\); в) \(0{,}9\); г) \(0{,}81\).
