Страница 142 номер 296, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Составьте таблицу и постройте диаграмму распределения вероятностей случайной величины \(X\) «число выпавших орлов» в случайном опыте, где симметричную монету бросают: а) два раза; б) три раза.
а) Монета симметричная, все четыре элементарных события РР, РО, ОР, ОО равновозможны: \(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\) — вероятность каждого. Величина \(X\) «число выпавших орлов» принимает значения 0, 1 и 2.
\(\mathrm{P}(X = 0) = 0{,}25\) — значению 0 отвечает событие РР.
\(\mathrm{P}(X = 1) = 2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5\) — значению 1 отвечают события РО и ОР.
\(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}25\) — значению 2 отвечает событие ОО.
\[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}25 + 0{,}5 + 0{,}25 = 1\).
б) При трёх бросках элементарных событий восемь: РРР, РРО, РОР, ОРР, РОО, ОРО, ООР, ООО, — и они тоже равновозможны: \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\) — вероятность каждого.
\(\mathrm{P}(X = 0) = 0{,}125\) — значению 0 отвечает событие РРР.
\(\mathrm{P}(X = 1) = 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375\) — значению 1 отвечают события РРО, РОР и ОРР.
\(\mathrm{P}(X = 2) = 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375\) — значению 2 отвечают события РОО, ОРО и ООР.
\(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}125\) — значению 3 отвечает событие ООО.
\[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}125 & 0{,}375 & 0{,}375 & 0{,}125 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}125 + 0{,}375 + 0{,}375 + 0{,}125 = 1\).
Ответ: а) \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}\); б) \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}125 & 0{,}375 & 0{,}375 & 0{,}125 \end{pmatrix}\).
Составьте таблицу и постройте диаграмму распределения вероятностей случайной величины \(X\) «число выпавших орлов» в случайном опыте, где симметричную монету бросают: а) два раза; б) три раза.
а) Монета симметричная, поэтому при каждом броске орёл и решка равновозможны, а значит, равновозможны и все элементарные события опыта. При двух бросках элементарных событий четыре: РР, РО, ОР, ОО, — и вероятность каждого равна \(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\).
Величина \(X\) «число выпавших орлов» принимает значения 0, 1 и 2:
значению 0 отвечает одно элементарное событие РР, поэтому \(\mathrm{P}(X = 0) = 0{,}25\);
значению 1 отвечают два элементарных события РО и ОР, поэтому \(\mathrm{P}(X = 1) = 2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5\);
значению 2 отвечает одно элементарное событие ОО, поэтому \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}25\).
\[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}25 + 0{,}5 + 0{,}25 = 1\).
б) При трёх бросках элементарных событий восемь: РРР, РРО, РОР, ОРР, РОО, ОРО, ООР, ООО, — и они тоже равновозможны, поэтому вероятность каждого равна \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\).
Величина \(X\) принимает значения 0, 1, 2 и 3:
значению 0 отвечает одно элементарное событие РРР, поэтому \(\mathrm{P}(X = 0) = 0{,}125\);
значению 1 отвечают три элементарных события РРО, РОР и ОРР, поэтому \(\mathrm{P}(X = 1) = 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375\);
значению 2 отвечают три элементарных события РОО, ОРО и ООР, поэтому \(\mathrm{P}(X = 2) = 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375\);
значению 3 отвечает одно элементарное событие ООО, поэтому \(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}125\).
\[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}125 & 0{,}375 & 0{,}375 & 0{,}125 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}125 + 0{,}375 + 0{,}375 + 0{,}125 = 1\).
Ответ: а) \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}\); б) \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}125 & 0{,}375 & 0{,}375 & 0{,}125 \end{pmatrix}\).
