Страница 149 номер 321, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(n = 9\) — число бросков монеты
\(S\) — число выпавших орлов
Найти: \(\mathrm{P}(S = 3)\) и \(\mathrm{P}(S = 5)\).
Решение:

Монету считаем симметричной, поэтому в каждом броске вероятность выпадения орла равна \(p = 0{,}5\), а вероятность решки \(q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). Броски одинаковы и независимы: результат одного броска не влияет на остальные.

Значит, \(S\) — это число успехов в серии из \(n = 9\) испытаний Бернулли, то есть \(S \sim Bi(9;\ 0{,}5)\). Так как \(p = q = 0{,}5\), вероятность упрощается: \(0{,}5^k \cdot 0{,}5^{\,9-k} = 0{,}5^9 = \dfrac{1}{2^9} = \dfrac{1}{512}\), поэтому \[\mathrm{P}(S = k) = C_9^k \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{\,9-k} = \frac{C_9^k}{512}.\]

а) \(C_9^3 = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 84\), поэтому \[\mathrm{P}(S = 3) = \frac{84}{512} = \frac{21}{128} = \frac{21}{2^7} \approx 0{,}164.\]

б) \(C_9^5 = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 126\), поэтому \[\mathrm{P}(S = 5) = \frac{126}{512} = \frac{63}{256} = \frac{63}{2^8} \approx 0{,}246.\]

Ответ: а) \(\dfrac{21}{2^7} \approx 0{,}164\); б) \(\dfrac{63}{2^8} \approx 0{,}246\).