Страница 149 номер 318, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
\(\mathrm{P}(X = k) = C_n^k p^k q^{\,n-k}\), где \(q = 1 - p\), а крайние вероятности \(\mathrm{P}(X = 0) = q^n\) и \(\mathrm{P}(X = n) = p^n\). Значит, \(n\) — наибольшее значение верхней строки таблицы, а \(p\) находится из последней вероятности.
а) Наибольшее значение равно 3, поэтому \(n = 3\).
\(p^3 = \dfrac{1}{27}\), откуда \(p = \dfrac{1}{3}\), а \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\); первая вероятность \(q^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}\) совпадает с напечатанной.
б) Наибольшее значение равно 4, поэтому \(n = 4\).
\(p^4 = 0{,}4096\), а \(0{,}8^2 = 0{,}64\) и \(0{,}64^2 = 0{,}4096\), откуда \(p = 0{,}8\), а \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\); первая вероятность \(q^4 = 0{,}2^4 = 0{,}04^2 = 0{,}0016\) совпадает с напечатанной.
Ответ: а) \(n = 3\), \(p = \dfrac{1}{3}\); б) \(n = 4\), \(p = 0{,}8\).
Биномиальное распределение \(Bi(n,\ p)\) принимает значения \(0,\ 1,\ \ldots,\ n\) — это число успехов в серии из \(n\) испытаний Бернулли, и \(\mathrm{P}(X = k) = C_n^k p^k q^{\,n-k}\), где \(q = 1 - p\). Крайние вероятности таблицы устроены просто: \(\mathrm{P}(X = 0) = q^n\) и \(\mathrm{P}(X = n) = p^n\). Значит, \(n\) — это наибольшее значение в верхней строке таблицы, а параметр \(p\) находится из последней вероятности.
а) Наибольшее значение равно 3, поэтому \(n = 3\).
Последняя вероятность: \(p^3 = \dfrac{1}{27}\), откуда \(p = \dfrac{1}{3}\). Тогда \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\), и первая вероятность \(q^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}\) совпадает с напечатанной.
Проверим ещё одну вероятность: \(C_3^1 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 3 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{27}\) — она тоже совпадает с таблицей.
б) Наибольшее значение равно 4, поэтому \(n = 4\).
Последняя вероятность: \(p^4 = 0{,}4096\). Так как \(0{,}8^2 = 0{,}64\) и \(0{,}64^2 = 0{,}4096\), получаем \(p = 0{,}8\). Тогда \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\), и первая вероятность \(q^4 = 0{,}2^4 = 0{,}04^2 = 0{,}0016\) совпадает с напечатанной.
Проверим ещё одну вероятность: \(C_4^2 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2^2 = 6 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}04 = 0{,}1536\) — она тоже совпадает с таблицей.
Ответ: а) \(n = 3\), \(p = \dfrac{1}{3}\); б) \(n = 4\), \(p = 0{,}8\).
