Страница 149 номер 314, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Составьте распределение случайной величины \(X\), которая подчиняется геометрическому распределению: а) \(G(0{,}3)\); б) \(G\left(\dfrac{1}{4}\right)\).
\(\mathrm{P}(X = k) = q^{k-1} p\), где \(q = 1 - p\) и \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
а) \(p = 0{,}3\), \(q = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\): \(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}3\); \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}21\); \(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}7^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}49 \cdot 0{,}3 = 0{,}147\); общий член \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}3 \cdot 0{,}7^{k-1}\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}3 & 0{,}21 & 0{,}147 & \ldots & 0{,}3 \cdot 0{,}7^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
б) \(p = \dfrac{1}{4}\), \(q = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\): \(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{1}{4}\); \(\mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16}\); \(\mathrm{P}(X = 3) = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{64}\); общий член \(\mathrm{P}(X = k) = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{k-1} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3^{k-1}}{4^{k}}\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{16} & \dfrac{9}{64} & \ldots & \dfrac{3^{k-1}}{4^{k}} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}3 \cdot 0{,}7^{k-1}\); б) \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{3^{k-1}}{4^{k}}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
Составьте распределение случайной величины \(X\), которая подчиняется геометрическому распределению: а) \(G(0{,}3)\); б) \(G\left(\dfrac{1}{4}\right)\).
Если величина \(X\) подчиняется геометрическому распределению \(G(p)\), то \(\mathrm{P}(X = k) = q^{k-1} p\), где \(q = 1 - p\) и \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
а) \(p = 0{,}3\), поэтому \(q = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\).
\(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}3\); \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}21\); \(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}7^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}49 \cdot 0{,}3 = 0{,}147\); общий член \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}3 \cdot 0{,}7^{k-1}\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}3 & 0{,}21 & 0{,}147 & \ldots & 0{,}3 \cdot 0{,}7^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
б) \(p = \dfrac{1}{4}\), поэтому \(q = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
\(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{1}{4}\); \(\mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16}\); \(\mathrm{P}(X = 3) = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{64}\); общий член \(\mathrm{P}(X = k) = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{k-1} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3^{k-1}}{4^{k}}\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{16} & \dfrac{9}{64} & \ldots & \dfrac{3^{k-1}}{4^{k}} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}3 \cdot 0{,}7^{k-1}\); б) \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{3^{k-1}}{4^{k}}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
