Страница 149 номер 317, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Кубик считаем правильным, все шесть исходов одного броска равновозможны; успеху «выпала пятёрка или шестёрка» благоприятствуют 2 из них, поэтому \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\), а \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\).
Броски одинаковы и независимы, поэтому \(X \sim G\left(\dfrac{1}{3}\right)\): событие \(X = k\) значит, что в первых \(k - 1\) бросках успеха не было, а \(k\)-й бросок успешен.
\(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{1}{3}\); \(\mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}\); \(\mathrm{P}(X = 3) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27}\); общий член \(\mathrm{P}(X = k) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}}\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{4}{27} & \ldots & \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Параметр распределения — вероятность успеха в одном испытании: \(p = \dfrac{1}{3}\).
Ответ: \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\); параметр распределения \(p = \dfrac{1}{3}\).
Кубик считаем правильным, все шесть исходов одного броска равновозможны. Успех — «выпала пятёрка или шестёрка»; ему благоприятствуют 2 исхода из 6, поэтому вероятность успеха в одном броске равна \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\), а вероятность неудачи \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\).
Броски одинаковы и независимы, вероятность успеха в каждом из них одна и та же, поэтому величина \(X\) «количество бросков» имеет геометрическое распределение \(G\left(\dfrac{1}{3}\right)\): событие \(X = k\) значит, что в первых \(k - 1\) бросках успеха не было, а \(k\)-й бросок успешен.
\(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{1}{3}\); \(\mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}\); \(\mathrm{P}(X = 3) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27}\).
Общий член: \(\mathrm{P}(X = k) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k-1}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}}\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{4}{27} & \ldots & \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Параметр геометрического распределения — это вероятность успеха в одном испытании, то есть \(p = \dfrac{1}{3}\).
Ответ: \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\); параметр распределения \(p = \dfrac{1}{3}\).
