Страница 150 номер 325, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная величина \(W\) имеет распределение \(G(0{,}03)\). Вычислите с точностью до тысячных вероятность события: а) \(W > 18\); б) \(W \leqslant 23\).
\(W \sim G(0{,}03)\): \(p = 0{,}03\), \(q = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\), а \(W\) — число испытаний до первого успеха.
а) Событие \(W > 18\) значит, что первые 18 испытаний неудачны, поэтому \(\mathrm{P}(W > 18) = q^{18} = 0{,}97^{18}\). Степень находим последовательным возведением в квадрат: \[\begin{aligned} &0{,}97^2 = 0{,}9409, \quad 0{,}97^4 = 0{,}9409^2 = 0{,}88529281, \\ &0{,}97^8 = 0{,}88529281^2 \approx 0{,}78374336, \quad 0{,}97^{16} \approx 0{,}78374336^2 \approx 0{,}61425365. \end{aligned}\]
Тогда \(0{,}97^{18} = 0{,}97^{16} \cdot 0{,}97^2 \approx 0{,}61425365 \cdot 0{,}9409 \approx 0{,}57795126\), и с точностью до тысячных \(\mathrm{P}(W > 18) \approx 0{,}578\).
б) Событие \(W \leqslant 23\) противоположно событию \(W > 23\), а \(W > 23\) значит, что первые 23 испытания неудачны: \(\mathrm{P}(W > 23) = q^{23} = 0{,}97^{23}\).
Сначала \(0{,}97^5 = 0{,}97^4 \cdot 0{,}97 = 0{,}88529281 \cdot 0{,}97 = 0{,}8587340257\), отсюда \(0{,}97^{23} = 0{,}97^{18} \cdot 0{,}97^5 \approx 0{,}57795126 \cdot 0{,}8587340257 \approx 0{,}49630641\). \[\mathrm{P}(W \leqslant 23) = 1 - 0{,}97^{23} \approx 1 - 0{,}49630641 = 0{,}50369359 \approx 0{,}504.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(W > 18) \approx 0{,}578\); б) \(\mathrm{P}(W \leqslant 23) \approx 0{,}504\).
Случайная величина \(W\) имеет распределение \(G(0{,}03)\). Вычислите с точностью до тысячных вероятность события: а) \(W > 18\); б) \(W \leqslant 23\).
Запись \(W \sim G(0{,}03)\) значит, что проводится серия одинаковых независимых испытаний до первого успеха, вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна \(p = 0{,}03\), а \(W\) — число сделанных испытаний. Вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\).
а) Событие \(W > 18\) значит, что 18 испытаний не хватило, то есть первые 18 испытаний неудачны. Испытания независимы, поэтому \(\mathrm{P}(W > 18) = q^{18} = 0{,}97^{18}\).
Степень находим последовательным возведением в квадрат: \[\begin{aligned} &0{,}97^2 = 0{,}9409, \quad 0{,}97^4 = 0{,}9409^2 = 0{,}88529281, \\ &0{,}97^8 = 0{,}88529281^2 \approx 0{,}78374336, \quad 0{,}97^{16} \approx 0{,}78374336^2 \approx 0{,}61425365. \end{aligned}\]
Тогда \(0{,}97^{18} = 0{,}97^{16} \cdot 0{,}97^2 \approx 0{,}61425365 \cdot 0{,}9409 \approx 0{,}57795126\), и с точностью до тысячных \(\mathrm{P}(W > 18) \approx 0{,}578\).
б) Событие \(W \leqslant 23\) противоположно событию \(W > 23\); прямой подсчёт потребовал бы 23 слагаемых, а через противоположное событие хватает одной степени. Событие \(W > 23\) значит, что первые 23 испытания неудачны: \(\mathrm{P}(W > 23) = q^{23} = 0{,}97^{23}\).
Сначала \(0{,}97^5 = 0{,}97^4 \cdot 0{,}97 = 0{,}88529281 \cdot 0{,}97 = 0{,}8587340257\), отсюда \(0{,}97^{23} = 0{,}97^{18} \cdot 0{,}97^5 \approx 0{,}57795126 \cdot 0{,}8587340257 \approx 0{,}49630641\). Значит, \[\mathrm{P}(W \leqslant 23) = 1 - 0{,}97^{23} \approx 1 - 0{,}49630641 = 0{,}50369359 \approx 0{,}504.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(W > 18) \approx 0{,}578\); б) \(\mathrm{P}(W \leqslant 23) \approx 0{,}504\).
