Страница 145 номер 310, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Двузначных чисел 90 — от 10 до 99, и все они равновозможны, поэтому вероятность значения величины \(X\) равна числу благоприятствующих чисел, делённому на 90. Первая цифра — от 1 до 9, вторая — от 0 до 9, поэтому величина \(X\) принимает значения \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 18\): от \(1 + 0 = 1\) до \(9 + 9 = 18\).
а) Число с суммой цифр \(k\) определяется своей первой цифрой: вторая цифра равна \(k\) без первой цифры.
При \(k \leqslant 9\) первая цифра любая от 1 до \(k\), и таких чисел \(k\).
При \(k \geqslant 10\) вторая цифра не больше 9, поэтому первая не меньше \(k - 9\) и не больше 9, и таких чисел \(9 - (k - 9) + 1 = 19 - k\).
Обе ветви сводит в одну запись модуль: при \(k \leqslant 9\) будет \(9{,}5 - |9{,}5 - k| = 9{,}5 - (9{,}5 - k) = k\), а при \(k \geqslant 10\) будет \(9{,}5 - |9{,}5 - k| = 9{,}5 - (k - 9{,}5) = 19 - k\).
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{9{,}5 - |9{,}5 - k|}{90}, \quad \text{где } k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 18.\]
б) Значение 10 попадает во вторую ветвь, чисел с такой суммой цифр \(19 - 10 = 9\): это 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82 и 91 — девять, а не десять, потому что числа с первой цифрой меньше единицы не бывают.
\[\mathrm{P}(X = 10) = \frac{19 - 10}{90} = \frac{9}{90} = 0{,}1.\]
в) Среди значений \(1,\ 2,\ \ldots,\ 18\) на 9 делятся два: 9 и 18. Нуля величина \(X\) не принимает, потому что первая цифра двузначного числа отлична от нуля.
Чисел с суммой цифр 9 ровно девять: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 и 90. Чисел с суммой цифр 18 всего \(19 - 18 = 1\) — это 99. Благоприятствующих чисел \(9 + 1 = 10\), поэтому вероятность события «\(X\) делится на 9» равна \(\dfrac{10}{90} = \dfrac{1}{9}\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{9{,}5 - |9{,}5 - k|}{90}\), где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 18\); б) \(\mathrm{P}(X = 10) = 0{,}1\); в) вероятность события «\(X\) делится на 9» равна \(\dfrac{1}{9}\).
Двузначных натуральных чисел 90: это числа от 10 до 99. Число выбирается случайно, поэтому все 90 чисел равновозможны, и вероятность каждого значения величины \(X\) равна числу благоприятствующих двузначных чисел, делённому на 90.
Первая цифра двузначного числа принимает значения от 1 до 9, вторая — от 0 до 9. Наименьшая сумма цифр равна \(1 + 0 = 1\), наибольшая равна \(9 + 9 = 18\), поэтому величина \(X\) принимает значения \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 18\).
а) Число с суммой цифр \(k\) полностью определяется своей первой цифрой: вторая цифра равна \(k\) без первой цифры.
При \(k \leqslant 9\) первая цифра может быть любой от 1 до \(k\): вторая цифра при этом равна от \(k - 1\) до 0 и за пределы от 0 до 9 не выходит. Значений первой цифры здесь \(k\), и чисел с такой суммой цифр тоже \(k\).
При \(k \geqslant 10\) вторая цифра не больше 9, поэтому первая цифра не меньше \(k - 9\); сверху она ограничена девяткой. Первая цифра пробегает значения от \(k - 9\) до 9, и таких значений \(9 - (k - 9) + 1 = 19 - k\).
Обе ветви сводятся к одной записи модулем. При \(k \leqslant 9\) разность \(9{,}5 - k\) положительна и \(9{,}5 - |9{,}5 - k| = 9{,}5 - (9{,}5 - k) = k\); при \(k \geqslant 10\) она отрицательна и \(9{,}5 - |9{,}5 - k| = 9{,}5 - (k - 9{,}5) = 19 - k\). Это ровно то, что посчитано, поэтому
\[\mathrm{P}(X = k) = \frac{9{,}5 - |9{,}5 - k|}{90}, \quad \text{где } k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 18.\]
Проверка формулы на двух значениях: при \(k = 5\) она даёт \(\dfrac{9{,}5 - 4{,}5}{90} = \dfrac{5}{90}\), и сумму цифр 5 действительно имеют пять чисел — 14, 23, 32, 41 и 50; при \(k = 15\) она даёт \(\dfrac{9{,}5 - 5{,}5}{90} = \dfrac{4}{90}\), и сумму цифр 15 имеют четыре числа — 69, 78, 87 и 96.
б) Значение 10 попадает во вторую ветвь, чисел с такой суммой цифр \(19 - 10 = 9\). Это числа 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82 и 91 — девять, а не десять: числа с первой цифрой меньше единицы не бывают.
\[\mathrm{P}(X = 10) = \frac{19 - 10}{90} = \frac{9}{90} = 0{,}1.\]
в) Среди значений \(1,\ 2,\ \ldots,\ 18\) на 9 делятся два: 9 и 18. Нуля величина \(X\) не принимает, потому что первая цифра двузначного числа отлична от нуля.
Значение 9 попадает в первую ветвь, и чисел с суммой цифр 9 ровно девять: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 и 90. Значение 18 попадает во вторую ветвь, и таких чисел \(19 - 18 = 1\), а именно 99. Всего благоприятствующих чисел \(9 + 1 = 10\), поэтому вероятность события «\(X\) делится на 9» равна \(\dfrac{10}{90} = \dfrac{1}{9}\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{9{,}5 - |9{,}5 - k|}{90}\), где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 18\); б) \(\mathrm{P}(X = 10) = 0{,}1\); в) вероятность события «\(X\) делится на 9» равна \(\dfrac{1}{9}\).
