Страница 149 номер 322, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Игральный кубик бросают 5 раз. Составьте распределение случайной величины \(U\) «число выпавших пятёрок и шестёрок» и постройте диаграмму распределения.
Кубик считаем правильным, все шесть исходов одного броска равновозможны; успеху «выпала пятёрка или шестёрка» благоприятствуют 2 из них, поэтому \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\), а \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\); броски одинаковы и независимы, \(n = 5\).
Значит, \(U\) — число успехов в серии из 5 испытаний Бернулли, то есть \(U \sim Bi\left(5;\ \dfrac{1}{3}\right)\), а общий знаменатель всех вероятностей равен \(3^5 = 243\): \[\mathrm{P}(U = k) = C_5^k \left(\frac{1}{3}\right)^{k} \left(\frac{2}{3}\right)^{5-k} = C_5^k \cdot \frac{2^{\,5-k}}{3^5} = C_5^k \cdot \frac{2^{\,5-k}}{243}.\]
\(C_5^0 = 1\), \(C_5^1 = 5\), \(C_5^2 = 10\), \(C_5^3 = 10\), \(C_5^4 = 5\), \(C_5^5 = 1\), поэтому \(\mathrm{P}(U = 0) = \dfrac{32}{243}\); \(\mathrm{P}(U = 1) = 5 \cdot \dfrac{16}{243} = \dfrac{80}{243}\); \(\mathrm{P}(U = 2) = 10 \cdot \dfrac{8}{243} = \dfrac{80}{243}\); \(\mathrm{P}(U = 3) = 10 \cdot \dfrac{4}{243} = \dfrac{40}{243}\); \(\mathrm{P}(U = 4) = 5 \cdot \dfrac{2}{243} = \dfrac{10}{243}\); \(\mathrm{P}(U = 5) = \dfrac{1}{243}\). \[U \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \dfrac{32}{243} & \dfrac{80}{243} & \dfrac{80}{243} & \dfrac{40}{243} & \dfrac{10}{243} & \dfrac{1}{243} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1}{243} = \dfrac{243}{243} = 1\).
Диаграмма распределения: по горизонтальной оси — значения величины, по вертикальной — их вероятности.
Ответ: \(U \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \dfrac{32}{243} & \dfrac{80}{243} & \dfrac{80}{243} & \dfrac{40}{243} & \dfrac{10}{243} & \dfrac{1}{243} \end{pmatrix}\).
Игральный кубик бросают 5 раз. Составьте распределение случайной величины \(U\) «число выпавших пятёрок и шестёрок» и постройте диаграмму распределения.
Кубик считаем правильным, все шесть исходов одного броска равновозможны. Успех — «выпала пятёрка или шестёрка»; ему благоприятствуют 2 исхода из 6, поэтому вероятность успеха в одном броске равна \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\), а вероятность неудачи \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\). Броски одинаковы и независимы, число испытаний \(n = 5\).
Значит, \(U\) «число выпавших пятёрок и шестёрок» — это число успехов в серии из 5 испытаний Бернулли, то есть \(U \sim Bi\left(5;\ \dfrac{1}{3}\right)\). Общий знаменатель всех вероятностей равен \(3^5 = 243\): \[\mathrm{P}(U = k) = C_5^k \left(\frac{1}{3}\right)^{k} \left(\frac{2}{3}\right)^{5-k} = C_5^k \cdot \frac{2^{\,5-k}}{3^5} = C_5^k \cdot \frac{2^{\,5-k}}{243}.\]
Числа сочетаний: \(C_5^0 = 1\), \(C_5^1 = 5\), \(C_5^2 = 10\), \(C_5^3 = 10\), \(C_5^4 = 5\), \(C_5^5 = 1\). Отсюда \(\mathrm{P}(U = 0) = \dfrac{32}{243}\); \(\mathrm{P}(U = 1) = 5 \cdot \dfrac{16}{243} = \dfrac{80}{243}\); \(\mathrm{P}(U = 2) = 10 \cdot \dfrac{8}{243} = \dfrac{80}{243}\); \(\mathrm{P}(U = 3) = 10 \cdot \dfrac{4}{243} = \dfrac{40}{243}\); \(\mathrm{P}(U = 4) = 5 \cdot \dfrac{2}{243} = \dfrac{10}{243}\); \(\mathrm{P}(U = 5) = \dfrac{1}{243}\). \[U \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \dfrac{32}{243} & \dfrac{80}{243} & \dfrac{80}{243} & \dfrac{40}{243} & \dfrac{10}{243} & \dfrac{1}{243} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1}{243} = \dfrac{243}{243} = 1\) — сумма вероятностей всех значений равна 1.
Вероятности значений 1 и 2 совпали: число сочетаний \(C_5^2\) вдвое больше \(C_5^1\), зато степень двойки вдвое меньше, и оба числителя равны 80.
Построим диаграмму распределения: по горизонтальной оси отложены значения величины, по вертикальной — их вероятности.
Ответ: \(U \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \dfrac{32}{243} & \dfrac{80}{243} & \dfrac{80}{243} & \dfrac{40}{243} & \dfrac{10}{243} & \dfrac{1}{243} \end{pmatrix}\).
