Вопросы после параграфа §30 на странице 148, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Геометрическое распределение с параметром \(p\), где \(q = 1 - p\) — вероятность неудачи: \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\ p & qp & q^2p & q^3p & \ldots \end{pmatrix}.\]
\(\dfrac{q^k p}{q^{k-1} p} = q\) — каждая следующая вероятность получается из предыдущей умножением на одно и то же число \(q\), то есть вероятности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q\); от названия прогрессии пошло и название распределения.
Ответ: потому что вероятности этого распределения образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = 1 - p\).
Симметричную монету бросают до первого выпадения орла; \(N\) — «число сделанных бросков».
Броски одинаковы и независимы, вероятность успеха в каждом \(p = 0{,}5\), неудачи — \(q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\).
Событие \(N = k\) значит, что первые \(k - 1\) бросков дали решку, а \(k\)-й бросок — орла, поэтому \(\mathrm{P}(N = k) = 0{,}5^{k-1} \cdot 0{,}5 = 0{,}5^{k}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) . Это геометрическое распределение с параметром \(0{,}5\), то есть \(N \sim G(0{,}5)\).
Ответ: \(N\) — число сделанных бросков, если симметричную монету бросают до первого выпадения орла; \(N \sim G(0{,}5)\).
Испытания одинаковы и независимы, \(p = 0{,}1\), \(q = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\), поэтому величина \(X\) «число испытаний» имеет геометрическое распределение: \(X \sim G(0{,}1)\) и \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}9^{k-1} \cdot 0{,}1\).
\(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}1\) — успех при первой же попытке.
Событие \(X = 10\): первые девять испытаний неудачны, десятое успешно; степень \(0{,}9^9\) находим последовательным возведением в квадрат: \[\begin{aligned} &0{,}9^2 = 0{,}81, \quad 0{,}9^4 = 0{,}81^2 = 0{,}6561, \\ &0{,}9^8 = 0{,}6561^2 = 0{,}43046721, \quad 0{,}9^9 = 0{,}43046721 \cdot 0{,}9 = 0{,}387420489. \end{aligned}\]
Значит, \(\mathrm{P}(X = 10) = 0{,}9^9 \cdot 0{,}1 = 0{,}0387420489 \approx 0{,}0387\). Так как \(0{,}1 > 0{,}0387\), первая попытка вероятнее.
Ответ: вероятнее, что успех наступит при первой же попытке: \(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}1\), а \(\mathrm{P}(X = 10) \approx 0{,}0387\).
Биномиальное распределение: \(\mathrm{P}(X = k) = C_n^k p^k q^{\,n-k}\), где \(q = 1 - p\) и \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n\). По формуле бинома Ньютона \[(p + q)^n = C_n^0 q^n + C_n^1 p q^{\,n-1} + \ldots + C_n^k p^k q^{\,n-k} + \ldots + C_n^n p^n.\]
Вероятности распределения — в точности слагаемые этого разложения, поэтому распределение и названо по слову «бином».
Ответ: потому что вероятности этого распределения — слагаемые разложения \((p + q)^n\) по формуле бинома Ньютона.
Стрелок делает \(n = 6\) независимых выстрелов, вероятность попадания при каждом \(p = 0{,}7\), промаха — \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\); \(M\) — «число попаданий», то есть число успехов в серии испытаний Бернулли.
Выбрать, какие именно \(k\) выстрелов удачны, можно \(C_6^k\) способами, и каждый такой исход имеет вероятность \(0{,}7^k \cdot 0{,}3^{\,6-k}\), поэтому \(\mathrm{P}(M = k) = C_6^k \cdot 0{,}7^k \cdot 0{,}3^{\,6-k}\), где \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ 6\), то есть \(M \sim Bi(6;\ 0{,}7)\).
Ответ: \(M\) — число попаданий при 6 независимых выстрелах с вероятностью попадания \(0{,}7\) в каждом; \(M \sim Bi(6;\ 0{,}7)\).
Испытания одинаковы и независимы, \(n = 10\), \(p = 0{,}4\), \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\), поэтому величина \(X\) «число успехов» имеет биномиальное распределение: \(X \sim Bi(10;\ 0{,}4)\) и \(\mathrm{P}(X = k) = C_{10}^k \cdot 0{,}4^k \cdot 0{,}6^{\,10-k}\).
\(C_{10}^4 = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 210\), \(0{,}4^4 = 0{,}0256\), \(0{,}6^6 = 0{,}216^2 = 0{,}046656\), поэтому \[\mathrm{P}(X = 4) = 210 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}046656 = 5{,}376 \cdot 0{,}046656 = 0{,}250822656 \approx 0{,}251.\]
\(C_{10}^8 = \dfrac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} = 45\) (выбрать 8 успешных испытаний — то же, что выбрать 2 неудачных), \(0{,}4^8 = 0{,}0256^2 = 0{,}00065536\), \(0{,}6^2 = 0{,}36\), поэтому \[\mathrm{P}(X = 8) = 45 \cdot 0{,}00065536 \cdot 0{,}36 = 0{,}0294912 \cdot 0{,}36 = 0{,}010616832 \approx 0{,}0106.\]
Так как \(0{,}251 > 0{,}0106\), ровно 4 успеха вероятнее.
Ответ: вероятнее, что случится ровно 4 успеха: \(\mathrm{P}(X = 4) \approx 0{,}251\), а \(\mathrm{P}(X = 8) \approx 0{,}0106\).
Обозначим \(q = 1 - p\) — вероятность неудачи в одном испытании. Геометрическое распределение с параметром \(p\) — это распределение \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\ p & qp & q^2p & q^3p & \ldots \end{pmatrix}.\]
Каждая следующая вероятность получается из предыдущей умножением на одно и то же число \(q\), потому что \(\dfrac{q^k p}{q^{k-1} p} = q\). Значит, вероятности этого распределения образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q\), а от названия прогрессии пошло и название распределения.
Ответ: потому что вероятности этого распределения образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = 1 - p\).
Симметричную монету бросают до тех пор, пока впервые не выпадет орёл. Случайная величина \(N\) — «число сделанных бросков».
Броски одинаковы и независимы: монета «не помнит» предыдущих бросков. Монета симметричная, поэтому в каждом броске вероятность успеха («выпал орёл») одна и та же: \(p = 0{,}5\), а вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\).
Событие \(N = k\) значит, что первые \(k - 1\) бросков дали решку, а \(k\)-й бросок — орла. Броски независимы, поэтому \(\mathrm{P}(N = k) = 0{,}5^{k-1} \cdot 0{,}5 = 0{,}5^{k}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) . Это и есть геометрическое распределение с параметром \(0{,}5\), то есть \(N \sim G(0{,}5)\).
Ответ: \(N\) — число сделанных бросков, если симметричную монету бросают до первого выпадения орла; \(N \sim G(0{,}5)\).
Испытания одинаковы и независимы, вероятность успеха в каждом равна \(p = 0{,}1\), поэтому величина \(X\) «число испытаний» имеет геометрическое распределение \(G(0{,}1)\). Вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\), и \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}9^{k-1} \cdot 0{,}1\).
Успех при первой же попытке — это событие \(X = 1\), и \(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}1\).
Успех при десятой попытке — событие \(X = 10\): первые девять испытаний неудачны, десятое успешно. Степень \(0{,}9^9\) находим последовательным возведением в квадрат: \[\begin{aligned} &0{,}9^2 = 0{,}81, \quad 0{,}9^4 = 0{,}81^2 = 0{,}6561, \\ &0{,}9^8 = 0{,}6561^2 = 0{,}43046721, \quad 0{,}9^9 = 0{,}43046721 \cdot 0{,}9 = 0{,}387420489. \end{aligned}\]
Значит, \(\mathrm{P}(X = 10) = 0{,}9^9 \cdot 0{,}1 = 0{,}0387420489 \approx 0{,}0387\). Так как \(0{,}1 > 0{,}0387\), первая попытка вероятнее.
Ответ: вероятнее, что успех наступит при первой же попытке: \(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}1\), а \(\mathrm{P}(X = 10) \approx 0{,}0387\).
Биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\) задаётся равенством \(\mathrm{P}(X = k) = C_n^k p^k q^{\,n-k}\), где \(q = 1 - p\) и \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n\). По формуле бинома Ньютона \[(p + q)^n = C_n^0 q^n + C_n^1 p q^{\,n-1} + \ldots + C_n^k p^k q^{\,n-k} + \ldots + C_n^n p^n.\]
Вероятности биномиального распределения — в точности слагаемые этого разложения, поэтому распределение и названо по слову «бином». Заодно видно, что сумма всех вероятностей равна \((p + q)^n = 1^n = 1\), как и должно быть.
Ответ: потому что вероятности этого распределения — слагаемые разложения \((p + q)^n\) по формуле бинома Ньютона.
Стрелок делает 6 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле одна и та же и равна \(0{,}7\), выстрелы не влияют друг на друга. Случайная величина \(M\) — «число попаданий».
Каждый выстрел — испытание Бернулли: успех (попадание) с вероятностью \(p = 0{,}7\) и неудача (промах) с вероятностью \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). Испытаний \(n = 6\), они одинаковы и независимы, а величина \(M\) считает число успехов.
Событие \(M = k\) значит, что попаданий ровно \(k\). Выбрать, какие именно \(k\) выстрелов оказались удачными, можно \(C_6^k\) способами, и каждый такой исход имеет вероятность \(0{,}7^k \cdot 0{,}3^{\,6-k}\). Значит, \(\mathrm{P}(M = k) = C_6^k \cdot 0{,}7^k \cdot 0{,}3^{\,6-k}\), где \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ 6\), то есть \(M \sim Bi(6;\ 0{,}7)\).
Ответ: \(M\) — число попаданий при 6 независимых выстрелах с вероятностью попадания \(0{,}7\) в каждом; \(M \sim Bi(6;\ 0{,}7)\).
Испытания одинаковы и независимы, \(n = 10\), \(p = 0{,}4\), \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\), поэтому величина \(X\) «число успехов» имеет биномиальное распределение \(Bi(10;\ 0{,}4)\) и \(\mathrm{P}(X = k) = C_{10}^k \cdot 0{,}4^k \cdot 0{,}6^{\,10-k}\).
Числа сочетаний: \(C_{10}^4 = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 210\), \(C_{10}^8 = \dfrac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} = 45\) (выбрать 8 успешных испытаний — то же, что выбрать 2 неудачных).
Степени: \(0{,}4^4 = 0{,}0256\), \(0{,}6^6 = 0{,}216^2 = 0{,}046656\), поэтому \[\mathrm{P}(X = 4) = 210 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}046656 = 5{,}376 \cdot 0{,}046656 = 0{,}250822656 \approx 0{,}251.\]
Степени: \(0{,}4^8 = 0{,}0256^2 = 0{,}00065536\), \(0{,}6^2 = 0{,}36\), поэтому \[\mathrm{P}(X = 8) = 45 \cdot 0{,}00065536 \cdot 0{,}36 = 0{,}0294912 \cdot 0{,}36 = 0{,}010616832 \approx 0{,}0106.\]
Так как \(0{,}251 > 0{,}0106\), ровно 4 успеха вероятнее.
Ответ: вероятнее, что случится ровно 4 успеха: \(\mathrm{P}(X = 4) \approx 0{,}251\), а \(\mathrm{P}(X = 8) \approx 0{,}0106\).
