Страница 145 номер 306, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Индикатор принимает значение 1, если событие наступило, и 0 в противном случае. Выразить индикатор — значит указать выражение, которое равно 1 ровно тогда, когда наступает нужное событие.
а) Если наступило событие \(A\), то \(I_A = 1\) и \(1 - I_A = 1 - 1 = 0\); если наступило событие \(\overline{A}\), то \(I_A = 0\) и \(1 - I_A = 1 - 0 = 1\).
\[I_{\overline{A}} = 1 - I_A.\]
б) Произведение \(I_A I_B\) равно 1 ровно тогда, когда оба сомножителя равны 1, то есть когда наступило и событие \(A\), и событие \(B\); если хотя бы одно из них не наступило, произведение равно 0.
\[I_{A \cap B} = I_A I_B.\]
в) Сумма \(I_A + I_B\) равна 0, если не наступило ни одного события, равна 1, если наступило ровно одно, и равна 2, если наступили оба, — в последнем случае лишнюю единицу надо вычесть. Произведение \(I_A I_B\) равно 1 как раз тогда, когда наступили оба события, и равно 0 во всех прочих случаях, поэтому вычитаем его.
\[I_{A \cup B} = I_A + I_B - I_A I_B.\]
Ответ: а) \(I_{\overline{A}} = 1 - I_A\); б) \(I_{A \cap B} = I_A I_B\); в) \(I_{A \cup B} = I_A + I_B - I_A I_B\).
Индикатор события принимает только два значения: 1, если событие наступило, и 0, если оно не наступило. Поэтому выразить индикатор одного события через индикаторы других — значит указать выражение, которое при каждом исходе опыта принимает значение 1 ровно тогда, когда наступает нужное событие, и значение 0 во всех остальных случаях.
а) Событие \(\overline{A}\) наступает ровно тогда, когда не наступает событие \(A\).
Если наступило событие \(A\), то \(I_A = 1\) и \(1 - I_A = 1 - 1 = 0\). Если наступило событие \(\overline{A}\), то \(I_A = 0\) и \(1 - I_A = 1 - 0 = 1\).
Значит, величина \(1 - I_A\) равна 1 ровно тогда, когда наступило событие \(\overline{A}\), и равна 0 в противном случае, — это и есть индикатор события \(\overline{A}\):
\[I_{\overline{A}} = 1 - I_A.\]
б) Событие \(A \cap B\) наступает тогда и только тогда, когда наступили оба события.
Произведение \(I_A I_B\) равно 1 ровно тогда, когда оба сомножителя равны 1, то есть когда наступило и событие \(A\), и событие \(B\). Если хотя бы одно из событий не наступило, соответствующий сомножитель равен нулю, и всё произведение равно 0.
Значит,
\[I_{A \cap B} = I_A I_B.\]
в) Событие \(A \cup B\) наступает тогда, когда наступило хотя бы одно из двух событий.
Сумма \(I_A + I_B\) равна 0, если не наступило ни одного из них, равна 1, если наступило ровно одно, и равна 2, если наступили оба. В последнем случае индикатор события \(A \cup B\) должен быть равен 1, а сумма даёт 2, — значит, лишнюю единицу надо вычесть, и вычесть её надо только тогда, когда наступили оба события.
Ровно так и устроено произведение \(I_A I_B\): оно равно 1, когда наступили оба события, и равно 0 во всех прочих случаях. Вычитая его, получаем 1 при наступлении обоих событий, 1 при наступлении ровно одного из них (\(1 - 0\)) и 0, когда не наступило ни одного:
\[I_{A \cup B} = I_A + I_B - I_A I_B.\]
Ответ: а) \(I_{\overline{A}} = 1 - I_A\); б) \(I_{A \cap B} = I_A I_B\); в) \(I_{A \cup B} = I_A + I_B - I_A I_B\).
