Страница 144 номер 303, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Значения пересчитываются по формуле, а вероятности переносятся в новые столбцы без изменений. Если два разных значения величины \(Y\) переходят в одно и то же число, столбцы склеиваются и их вероятности складываются.
а) \(2 \cdot (-3) = -6\); \(2 \cdot (-1) = -2\); \(2 \cdot 1 = 2\); \(2 \cdot 3 = 6\) — умножение на 2 разные числа в одно не переводит, склейки нет.
\[2Y \sim \begin{pmatrix} -6 & -2 & 2 & 6 \\ 0{,}42 & 0{,}08 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}.\]
б) \(\dfrac{-3}{2} - 1 = -2{,}5\); \(\dfrac{-1}{2} - 1 = -1{,}5\); \(\dfrac{1}{2} - 1 = -0{,}5\); \(\dfrac{3}{2} - 1 = 0{,}5\) — деление на 2 и вычитание единицы сохраняют различие чисел и их порядок, склейки нет.
\[\frac{Y}{2} - 1 \sim \begin{pmatrix} -2{,}5 & -1{,}5 & -0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}42 & 0{,}08 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}.\]
в) \((-3)^2 = 9\); \((-1)^2 = 1\); \(1^2 = 1\); \(3^2 = 9\) — противоположные значения дают один и тот же квадрат, поэтому столбцы склеиваются попарно и их вероятности складываются.
\(\mathrm{P}(Y^2 = 1) = 0{,}08 + 0{,}4 = 0{,}48\).
\(\mathrm{P}(Y^2 = 9) = 0{,}42 + 0{,}1 = 0{,}52\). Столбцов остаётся два.
\[Y^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix}.\]
г) \(|-3| + 1 = 4\); \(|-1| + 1 = 2\); \(|1| + 1 = 2\); \(|3| + 1 = 4\) — склейка та же: значение 2 получается при \(Y = -1\) и при \(Y = 1\), значение 4 — при \(Y = -3\) и при \(Y = 3\).
\(\mathrm{P}(|Y| + 1 = 2) = 0{,}08 + 0{,}4 = 0{,}48\).
\(\mathrm{P}(|Y| + 1 = 4) = 0{,}42 + 0{,}1 = 0{,}52\).
\[|Y| + 1 \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(2Y \sim \begin{pmatrix} -6 & -2 & 2 & 6 \\ 0{,}42 & 0{,}08 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}\); б) \(\dfrac{Y}{2} - 1 \sim \begin{pmatrix} -2{,}5 & -1{,}5 & -0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}42 & 0{,}08 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}\); в) \(Y^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix}\); г) \(|Y| + 1 \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix}\).
Каждая новая величина возникает в том же опыте, что и величина \(Y\): если наступило событие \(Y = y\), то новая величина принимает значение, полученное из числа \(y\) по своей формуле. Поэтому значения пересчитываются, а вероятности переносятся в новые столбцы без изменений. Если же два разных значения величины \(Y\) переходят в одно и то же число, столбцы склеиваются и вероятности складываются.
а) Значения величины \(2Y\): \(2 \cdot (-3) = -6\); \(2 \cdot (-1) = -2\); \(2 \cdot 1 = 2\); \(2 \cdot 3 = 6\). Умножение на 2 разные числа в одно не переводит, склейки нет, и столбцов остаётся четыре.
\[2Y \sim \begin{pmatrix} -6 & -2 & 2 & 6 \\ 0{,}42 & 0{,}08 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}.\]
б) Значения величины \(\dfrac{Y}{2} - 1\): \(\dfrac{-3}{2} - 1 = -2{,}5\); \(\dfrac{-1}{2} - 1 = -1{,}5\); \(\dfrac{1}{2} - 1 = -0{,}5\); \(\dfrac{3}{2} - 1 = 0{,}5\). Здесь склейки тоже нет: деление на 2 и вычитание единицы сохраняют различие чисел и их порядок.
\[\frac{Y}{2} - 1 \sim \begin{pmatrix} -2{,}5 & -1{,}5 & -0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}42 & 0{,}08 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}.\]
в) Значения величины \(Y^2\): \((-3)^2 = 9\); \((-1)^2 = 1\); \(1^2 = 1\); \(3^2 = 9\). Противоположные значения дают один и тот же квадрат, поэтому столбцы склеиваются попарно.
Величина \(Y^2\) равна 1 тогда и только тогда, когда \(Y = -1\) или \(Y = 1\), поэтому \(\mathrm{P}(Y^2 = 1) = 0{,}08 + 0{,}4 = 0{,}48\). Величина \(Y^2\) равна 9 тогда и только тогда, когда \(Y = -3\) или \(Y = 3\), поэтому \(\mathrm{P}(Y^2 = 9) = 0{,}42 + 0{,}1 = 0{,}52\). Столбцов остаётся два.
\[Y^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix}.\]
Сумма вероятностей осталась равной 1: \(0{,}48 + 0{,}52 = 1\).
г) Значения величины \(|Y| + 1\): \(|-3| + 1 = 4\); \(|-1| + 1 = 2\); \(|1| + 1 = 2\); \(|3| + 1 = 4\). Склейка та же, что в предыдущем пункте: значение 2 получается при \(Y = -1\) и при \(Y = 1\), значение 4 — при \(Y = -3\) и при \(Y = 3\).
Поэтому \(\mathrm{P}(|Y| + 1 = 2) = 0{,}08 + 0{,}4 = 0{,}48\) и \(\mathrm{P}(|Y| + 1 = 4) = 0{,}42 + 0{,}1 = 0{,}52\).
\[|Y| + 1 \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(2Y \sim \begin{pmatrix} -6 & -2 & 2 & 6 \\ 0{,}42 & 0{,}08 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}\); б) \(\dfrac{Y}{2} - 1 \sim \begin{pmatrix} -2{,}5 & -1{,}5 & -0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}42 & 0{,}08 & 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}\); в) \(Y^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix}\); г) \(|Y| + 1 \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix}\).
