Страница 142 номер 298, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Правильный игральный кубик бросают дважды. Запишите таблицей и формулой распределение случайной величины: а) \(X\) «наибольшее из выпавших очков»; б) \(Y\) «наименьшее из выпавших очков».
Кубик правильный: элементарных событий \(6 \cdot 6 = 36\), все равновозможны, вероятность каждого равна \(\dfrac{1}{36}\).
а) Величина \(X\) «наибольшее из выпавших очков» принимает значения от 1 до 6.
Неравенство \(X \leqslant k\) означает, что оба броска дали не больше \(k\) очков: подходящих значений у каждого броска \(k\), поэтому таких элементарных событий \(k^2\).
Событию \(X = k\) благоприятствуют те элементарные события, у которых оба броска не больше \(k\), но не оба не больше \(k - 1\), — их число равно \(k^2 - (k - 1)^2 = 2k - 1\):
\[\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{k^2 - (k - 1)^2}{36} = \dfrac{2k - 1}{36},\ \text{где } k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6.\] \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{1}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{11}{36} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11}{36} = \dfrac{36}{36} = 1\).
б) Величина \(Y\) «наименьшее из выпавших очков» тоже принимает значения от 1 до 6.
Неравенство \(Y \geqslant k\) означает, что оба броска дали не меньше \(k\) очков: подходящих значений у каждого броска \(7 - k\) (это числа от \(k\) до 6), поэтому таких элементарных событий \((7 - k)^2\).
Событию \(Y = k\) благоприятствуют те элементарные события, у которых оба броска не меньше \(k\), но не оба не меньше \(k + 1\), — их число равно \((7 - k)^2 - (6 - k)^2 = 13 - 2k\):
\[\mathrm{P}(Y = k) = \dfrac{(7 - k)^2 - (6 - k)^2}{36} = \dfrac{13 - 2k}{36},\ \text{где } k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6.\] \[Y \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{11}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{1}{36} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1}{36} = \dfrac{36}{36} = 1\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{2k - 1}{36}\), где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6\), то есть \(X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{1}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{11}{36} \end{pmatrix}\); б) \(\mathrm{P}(Y = k) = \dfrac{13 - 2k}{36}\), где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6\), то есть \(Y \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{11}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{1}{36} \end{pmatrix}\).
Правильный игральный кубик бросают дважды. Запишите таблицей и формулой распределение случайной величины: а) \(X\) «наибольшее из выпавших очков»; б) \(Y\) «наименьшее из выпавших очков».
Кубик правильный, поэтому оба броска дают по одному из шести равновозможных значений, и всего элементарных событий \(6 \cdot 6 = 36\), все они равновозможны. Вероятность каждого элементарного события равна \(\dfrac{1}{36}\).
а) Величина \(X\) «наибольшее из выпавших очков» принимает значения от 1 до 6.
Неравенство \(X \leqslant k\) означает, что оба броска дали не больше \(k\) очков: у первого броска для этого есть \(k\) подходящих значений и у второго тоже \(k\), поэтому таких элементарных событий \(k^2\).
Событию \(X = k\) благоприятствуют те элементарные события, у которых оба броска не больше \(k\), но не оба не больше \(k - 1\). Значит, их число равно \(k^2 - (k - 1)^2 = 2k - 1\), и
\[\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{k^2 - (k - 1)^2}{36} = \dfrac{2k - 1}{36},\ \text{где } k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6.\]
Отсюда таблица распределения:
\[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{1}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{11}{36} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11}{36} = \dfrac{36}{36} = 1\).
б) Величина \(Y\) «наименьшее из выпавших очков» тоже принимает значения от 1 до 6.
Неравенство \(Y \geqslant k\) означает, что оба броска дали не меньше \(k\) очков: подходящих значений у каждого броска \(7 - k\) (это числа от \(k\) до 6), поэтому таких элементарных событий \((7 - k)^2\).
Событию \(Y = k\) благоприятствуют те элементарные события, у которых оба броска не меньше \(k\), но не оба не меньше \(k + 1\). Значит, их число равно \((7 - k)^2 - (6 - k)^2 = 13 - 2k\), и
\[\mathrm{P}(Y = k) = \dfrac{(7 - k)^2 - (6 - k)^2}{36} = \dfrac{13 - 2k}{36},\ \text{где } k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6.\]
Отсюда таблица распределения:
\[Y \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{11}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{1}{36} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(\dfrac{11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1}{36} = \dfrac{36}{36} = 1\).
Вероятности значений величины \(X\) растут, а вероятности значений величины \(Y\) убывают: наибольшее из двух выпавших чисел чаще оказывается большим, а наименьшее — малым.
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{2k - 1}{36}\), где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6\), то есть \(X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{1}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{11}{36} \end{pmatrix}\); б) \(\mathrm{P}(Y = k) = \dfrac{13 - 2k}{36}\), где \(k = 1,\ 2,\ \ldots,\ 6\), то есть \(Y \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \dfrac{11}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{1}{36} \end{pmatrix}\).
