Страница 144 номер 302, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Значения пересчитываются по формуле, а вероятности переносятся в новые столбцы без изменений. Если два разных значения величины \(X\) переходят в одно и то же число, столбцы склеиваются и вероятность нового значения равна сумме их вероятностей.
а) \(2 \cdot 1 + 1 = 3\); \(2 \cdot 4 + 1 = 9\); \(2 \cdot 9 + 1 = 19\); \(2 \cdot 16 + 1 = 33\) — все четыре числа различны и идут по возрастанию, склейки нет.
\[2X + 1 \sim \begin{pmatrix} 3 & 9 & 19 & 33 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]
б) \(1^2 = 1\); \(4^2 = 16\); \(9^2 = 81\); \(16^2 = 256\) — значения величины \(X\) положительны, поэтому их квадраты различны и возрастают вместе с ними.
\[X^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 16 & 81 & 256 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]
в) \(-\sqrt{1} = -1\); \(-\sqrt{4} = -2\); \(-\sqrt{9} = -3\); \(-\sqrt{16} = -4\) — все они различны, но большему значению величины \(X\) отвечает меньшее значение величины \(-\sqrt{X}\). Значения в таблице идут по возрастанию, поэтому столбцы идут в обратном порядке и вероятность \(0{,}4\) оказывается у значения \(-4\).
\[-\sqrt{X} \sim \begin{pmatrix} -4 & -3 & -2 & -1 \\ 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}1 \end{pmatrix}.\]
г) \(|6{,}5 - 1| = 5{,}5\); \(|6{,}5 - 4| = 2{,}5\); \(|6{,}5 - 9| = 2{,}5\); \(|6{,}5 - 16| = 9{,}5\).
Числа 4 и 9 одинаково удалены от числа \(6{,}5\) и дали одно и то же значение \(2{,}5\), поэтому их вероятности складываются: \(0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5\). Столбцов остаётся три.
\[|6{,}5 - X| \sim \begin{pmatrix} 2{,}5 & 5{,}5 & 9{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(2X + 1 \sim \begin{pmatrix} 3 & 9 & 19 & 33 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}\); б) \(X^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 16 & 81 & 256 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}\); в) \(-\sqrt{X} \sim \begin{pmatrix} -4 & -3 & -2 & -1 \\ 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}1 \end{pmatrix}\); г) \(|6{,}5 - X| \sim \begin{pmatrix} 2{,}5 & 5{,}5 & 9{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix}\).
Все четыре новые величины возникают в том же опыте, что и величина \(X\): если наступило событие \(X = x\), то новая величина принимает значение, полученное из числа \(x\) по своей формуле. Поэтому значения пересчитываются по формуле, а вероятности переносятся в новые столбцы без изменений: событие «новая величина приняла значение, отвечающее числу \(x\)» — это то же самое событие \(X = x\).
Если же два разных значения величины \(X\) переходят в одно и то же число, столбцы склеиваются, и вероятность нового значения равна сумме вероятностей тех значений, из которых оно получилось.
а) Значения величины \(2X + 1\): \(2 \cdot 1 + 1 = 3\); \(2 \cdot 4 + 1 = 9\); \(2 \cdot 9 + 1 = 19\); \(2 \cdot 16 + 1 = 33\). Все четыре числа различны и идут по возрастанию, склейки нет.
\[2X + 1 \sim \begin{pmatrix} 3 & 9 & 19 & 33 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]
б) Значения величины \(X^2\): \(1^2 = 1\); \(4^2 = 16\); \(9^2 = 81\); \(16^2 = 256\). Значения величины \(X\) положительны, поэтому их квадраты различны и возрастают вместе с ними.
\[X^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 16 & 81 & 256 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]
в) Значения величины \(-\sqrt{X}\): \(-\sqrt{1} = -1\); \(-\sqrt{4} = -2\); \(-\sqrt{9} = -3\); \(-\sqrt{16} = -4\). Все они различны, но большему значению величины \(X\) отвечает меньшее значение величины \(-\sqrt{X}\). Значения в таблице распределения располагаются по возрастанию, поэтому столбцы идут в обратном порядке, и вероятность \(0{,}4\) оказывается у значения \(-4\).
\[-\sqrt{X} \sim \begin{pmatrix} -4 & -3 & -2 & -1 \\ 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}1 \end{pmatrix}.\]
г) Значения величины \(|6{,}5 - X|\): \(|6{,}5 - 1| = 5{,}5\); \(|6{,}5 - 4| = |2{,}5| = 2{,}5\); \(|6{,}5 - 9| = |-2{,}5| = 2{,}5\); \(|6{,}5 - 16| = |-9{,}5| = 9{,}5\).
Числа 4 и 9 одинаково удалены от числа \(6{,}5\), поэтому они дали одно и то же значение \(2{,}5\): величина \(|6{,}5 - X|\) равна \(2{,}5\) тогда и только тогда, когда \(X = 4\) или \(X = 9\). Вероятности этих двух значений складываются: \(0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5\). Столбцов остаётся три.
\[|6{,}5 - X| \sim \begin{pmatrix} 2{,}5 & 5{,}5 & 9{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]
Сумма вероятностей осталась равной 1: \(0{,}5 + 0{,}1 + 0{,}4 = 1\).
Ответ: а) \(2X + 1 \sim \begin{pmatrix} 3 & 9 & 19 & 33 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}\); б) \(X^2 \sim \begin{pmatrix} 1 & 16 & 81 & 256 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 \end{pmatrix}\); в) \(-\sqrt{X} \sim \begin{pmatrix} -4 & -3 & -2 & -1 \\ 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}1 \end{pmatrix}\); г) \(|6{,}5 - X| \sim \begin{pmatrix} 2{,}5 & 5{,}5 & 9{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix}\).
