Страница 148 номер 312, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Составьте таблицу геометрического распределения с параметром: а) \(p = \dfrac{1}{3}\); б) \(p = 0{,}7\).
\(\mathrm{P}(X = k) = q^{k-1} p\), где \(q = 1 - p\) и \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
а) \(p = \dfrac{1}{3}\), \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\): \(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{1}{3}\); \(\mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}\); \(\mathrm{P}(X = 3) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27}\); общий член \(\mathrm{P}(X = k) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}}\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{4}{27} & \ldots & \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}} & \ldots \end{pmatrix}.\]
б) \(p = 0{,}7\), \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\): \(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}7\); \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21\); \(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}3^2 \cdot 0{,}7 = 0{,}09 \cdot 0{,}7 = 0{,}063\); общий член \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}7 \cdot 0{,}3^{k-1}\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}7 & 0{,}21 & 0{,}063 & \ldots & 0{,}7 \cdot 0{,}3^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}}\); б) \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}7 \cdot 0{,}3^{k-1}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
Составьте таблицу геометрического распределения с параметром: а) \(p = \dfrac{1}{3}\); б) \(p = 0{,}7\).
Геометрическое распределение с параметром \(p\) задаётся равенством \(\mathrm{P}(X = k) = q^{k-1} p\), где \(q = 1 - p\) и \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
а) \(p = \dfrac{1}{3}\), поэтому \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\).
\(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{1}{3}\); \(\mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}\); \(\mathrm{P}(X = 3) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{27}\).
Общий член: \(\mathrm{P}(X = k) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k-1}} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}}\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{4}{27} & \ldots & \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}} & \ldots \end{pmatrix}.\]
б) \(p = 0{,}7\), поэтому \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).
\(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}7\); \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21\); \(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}3^2 \cdot 0{,}7 = 0{,}09 \cdot 0{,}7 = 0{,}063\).
Общий член: \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}3^{k-1} \cdot 0{,}7 = 0{,}7 \cdot 0{,}3^{k-1}\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}7 & 0{,}21 & 0{,}063 & \ldots & 0{,}7 \cdot 0{,}3^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}}\); б) \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}7 \cdot 0{,}3^{k-1}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
