Страница 142 номер 297, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Индикатор \(I_A\) принимает значение 1, если событие \(A\) наступило, и 0, если случилось противоположное событие \(\overline{A}\): под единицей стоит \(\mathrm{P}(A)\), под нулём — \(1 - \mathrm{P}(A)\).
Испытания одинаковы и независимы: вероятность успеха в каждом равна \(p\), вероятность неудачи равна \(q = 1 - p\), поэтому вероятность наперёд заданного набора исходов равна произведению их вероятностей.
а) Событие \(A\) означает, что первые семь попыток окончились неудачей, а восьмая — успехом: \(\mathrm{P}(A) = pq^7\).
\[I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - pq^7 & pq^7 \end{pmatrix}.\]
б) Серия доходит до четвёртой попытки ровно тогда, когда первые три испытания окончились неудачей, а дальнейшие исходы для события \(A\) неважны: \(\mathrm{P}(A) = q^3\).
\[I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - q^3 & q^3 \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - pq^7 & pq^7 \end{pmatrix}\); б) \(I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - q^3 & q^3 \end{pmatrix}\).
Индикатор \(I_A\) принимает два значения: 1, если событие \(A\) наступило, и 0, если случилось противоположное событие \(\overline{A}\). Значит, его распределение — таблица со значениями 0 и 1, под единицей в ней стоит вероятность \(\mathrm{P}(A)\), а под нулём — вероятность \(1 - \mathrm{P}(A)\). Вся работа сводится к отысканию вероятности самого события \(A\).
Испытания в серии одинаковы и независимы: в каждом вероятность успеха равна \(p\), вероятность неудачи равна \(q = 1 - p\), и исход одного испытания не влияет на исходы остальных. Поэтому вероятность любого наперёд заданного набора исходов равна произведению вероятностей этих исходов.
а) Событие \(A\) «успех наступил при восьмой попытке» означает, что первые семь попыток окончились неудачей, а восьмая — успехом. Вероятность такого набора исходов равна произведению семи множителей \(q\) и одного множителя \(p\), то есть \(\mathrm{P}(A) = pq^7\).
\[I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - pq^7 & pq^7 \end{pmatrix}.\]
б) Событие \(A\) «потребовалось не менее четырёх попыток» означает, что успеха не было ни в первой, ни во второй, ни в третьей попытке: серия доходит до четвёртой попытки ровно тогда, когда первые три испытания окончились неудачей. Чем закончатся следующие испытания, для события \(A\) уже неважно, поэтому вероятность равна произведению трёх множителей \(q\), то есть \(\mathrm{P}(A) = q^3\).
\[I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - q^3 & q^3 \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - pq^7 & pq^7 \end{pmatrix}\); б) \(I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - q^3 & q^3 \end{pmatrix}\).
