Страница 150 номер 324, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
За год из строя выходят в среднем 20 % смартфонов, поэтому за очередной год смартфон сломается с вероятностью \(p = 0{,}2\), а проработает этот год с вероятностью \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\).
Срок службы не зависит от того, сколько смартфон уже прослужил, значит, каждый год — одно и то же независимое испытание, а величина \(X\) «срок службы в годах» — номер того года, в котором смартфон вышел из строя, и принимает она значения \(1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
Событие \(X = k\) значит, что первые \(k - 1\) лет смартфон проработал, а в \(k\)-й год сломался: \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}8^{k-1} \cdot 0{,}2\) — это распределение \(G(0{,}2)\).
\(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}2\); \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16\); \(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}2 & 0{,}16 & 0{,}128 & \ldots & 0{,}2 \cdot 0{,}8^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Ответ: \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}2 \cdot 0{,}8^{k-1}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) — номер года, в котором смартфон вышел из строя.
В течение года выходят из строя в среднем 20 % смартфонов, поэтому вероятность того, что смартфон сломается за очередной год, равна \(p = 0{,}2\), а вероятность того, что этот год он проработает, равна \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\).
Срок службы не зависит от того, сколько смартфон уже прослужил, значит, каждый год — это одно и то же испытание с вероятностью успеха (поломки) \(0{,}2\), и такие испытания независимы. Случайная величина \(X\) «срок службы в годах» — это номер того года, в котором смартфон вышел из строя, поэтому она принимает значения \(1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
Событие \(X = k\) значит, что первые \(k - 1\) лет смартфон проработал, а в \(k\)-й год сломался, поэтому \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}8^{k-1} \cdot 0{,}2\) — это геометрическое распределение \(G(0{,}2)\).
\(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}2\); \(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16\); \(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\). \[X \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}2 & 0{,}16 & 0{,}128 & \ldots & 0{,}2 \cdot 0{,}8^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Ответ: \(\mathrm{P}(X = k) = 0{,}2 \cdot 0{,}8^{k-1}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) — номер года, в котором смартфон вышел из строя.
