Страница 149 номер 316, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Броски одинаковы и независимы, поэтому \(Y\) имеет геометрическое распределение: событие \(Y = k\) значит, что первые \(k - 1\) бросков — промахи, а \(k\)-й — попадание, и \(\mathrm{P}(Y = k) = q^{k-1} p\), где \(p\) — вероятность попадания, \(q = 1 - p\) — промаха.
а) \(p = 0{,}2\), \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\): \(\mathrm{P}(Y = 1) = 0{,}2\); \(\mathrm{P}(Y = 2) = 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16\); \(\mathrm{P}(Y = 3) = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\); общий член \(\mathrm{P}(Y = k) = 0{,}2 \cdot 0{,}8^{k-1}\). \[Y \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}2 & 0{,}16 & 0{,}128 & \ldots & 0{,}2 \cdot 0{,}8^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
б) \(p = 0{,}4\), \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\): \(\mathrm{P}(Y = 1) = 0{,}4\); \(\mathrm{P}(Y = 2) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24\); \(\mathrm{P}(Y = 3) = 0{,}6^2 \cdot 0{,}4 = 0{,}36 \cdot 0{,}4 = 0{,}144\); общий член \(\mathrm{P}(Y = k) = 0{,}4 \cdot 0{,}6^{k-1}\). \[Y \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}4 & 0{,}24 & 0{,}144 & \ldots & 0{,}4 \cdot 0{,}6^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(Y = k) = 0{,}2 \cdot 0{,}8^{k-1}\); б) \(\mathrm{P}(Y = k) = 0{,}4 \cdot 0{,}6^{k-1}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
Броски одинаковы и независимы: результат одного броска не влияет на остальные, а вероятность попадания при каждом отдельном броске одна и та же. Значит, величина \(Y\) «число бросков» имеет геометрическое распределение: событие \(Y = k\) значит, что первые \(k - 1\) бросков — промахи, а \(k\)-й бросок — попадание, поэтому \(\mathrm{P}(Y = k) = q^{k-1} p\), где \(p\) — вероятность попадания, \(q = 1 - p\) — вероятность промаха.
а) \(p = 0{,}2\), поэтому \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\).
\(\mathrm{P}(Y = 1) = 0{,}2\); \(\mathrm{P}(Y = 2) = 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16\); \(\mathrm{P}(Y = 3) = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\); общий член \(\mathrm{P}(Y = k) = 0{,}2 \cdot 0{,}8^{k-1}\). \[Y \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}2 & 0{,}16 & 0{,}128 & \ldots & 0{,}2 \cdot 0{,}8^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
б) \(p = 0{,}4\), поэтому \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\).
\(\mathrm{P}(Y = 1) = 0{,}4\); \(\mathrm{P}(Y = 2) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24\); \(\mathrm{P}(Y = 3) = 0{,}6^2 \cdot 0{,}4 = 0{,}36 \cdot 0{,}4 = 0{,}144\); общий член \(\mathrm{P}(Y = k) = 0{,}4 \cdot 0{,}6^{k-1}\). \[Y \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & k & \ldots \\ 0{,}4 & 0{,}24 & 0{,}144 & \ldots & 0{,}4 \cdot 0{,}6^{k-1} & \ldots \end{pmatrix}.\]
Ответ: а) \(\mathrm{P}(Y = k) = 0{,}2 \cdot 0{,}8^{k-1}\); б) \(\mathrm{P}(Y = k) = 0{,}4 \cdot 0{,}6^{k-1}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .
