Страница 145 номер 309, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
При двукратном бросании игрального кубика сначала выпало \(X\) очков, а затем — \(Y\) очков. Составьте таблицу распределения случайной величины «разность между выпавшими очками» \(Z = |X - Y|\).
Кубик считаем правильным: все \(6 \cdot 6 = 36\) пар «очки первого броска — очки второго броска» равновозможны, и вероятность значения величины \(Z\) равна числу благоприятствующих пар, делённому на 36.
Очки в каждом броске — числа от 1 до 6, поэтому величина \(Z\) принимает значения \(0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5\).
Равенство \(Z = 0\) означает \(X = Y\): таких пар 6 — по одной на каждое число очков от 1 до 6.
Равенство \(Z = d\) при \(d \geqslant 1\) значит, что одно из чисел на \(d\) больше другого: меньшее из них может быть любым от 1 до \(6 - d\), и каждому такому выбору отвечают две пары (большее число выпало в первом броске или во втором), поэтому благоприятствующих пар \(2(6 - d)\).
При \(d = 1\) пар \(2 \cdot 5 = 10\); при \(d = 2\) пар \(2 \cdot 4 = 8\); при \(d = 3\) пар \(2 \cdot 3 = 6\); при \(d = 4\) пар \(2 \cdot 2 = 4\); при \(d = 5\) пар \(2 \cdot 1 = 2\).
\(\mathrm{P}(Z = 0) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\); \(\mathrm{P}(Z = 1) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}\); \(\mathrm{P}(Z = 2) = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}\); \(\mathrm{P}(Z = 3) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\); \(\mathrm{P}(Z = 4) = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}\); \(\mathrm{P}(Z = 5) = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}\).
\[Z \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \frac{1}{6} & \frac{5}{18} & \frac{2}{9} & \frac{1}{6} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 36\) — каждая пара учтена один раз, сумма вероятностей \(\dfrac{36}{36} = 1\).
Ответ: \(Z \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \frac{1}{6} & \frac{5}{18} & \frac{2}{9} & \frac{1}{6} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{pmatrix}\).
При двукратном бросании игрального кубика сначала выпало \(X\) очков, а затем — \(Y\) очков. Составьте таблицу распределения случайной величины «разность между выпавшими очками» \(Z = |X - Y|\).
Кубик правильным в условии не назван — считаем его правильным. Тогда при двукратном бросании все пары «очки первого броска — очки второго броска» равновозможны, а всего таких пар \(6 \cdot 6 = 36\). Вероятность каждого значения величины \(Z\) равна числу благоприятствующих пар, делённому на 36.
Очки в каждом броске — числа от 1 до 6, поэтому модуль их разности принимает значения \(0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5\).
Равенство \(Z = 0\) означает \(X = Y\): в обоих бросках выпало одно и то же число очков, и таких пар 6 — по одной на каждое число очков от 1 до 6.
Равенство \(Z = d\) при \(d \geqslant 1\) означает, что одно из выпавших чисел на \(d\) больше другого. Меньшее из них может быть любым от 1 до \(6 - d\) (иначе большее выйдет за шестёрку), а каждому такому выбору отвечают две пары: большее число могло выпасть и в первом броске, и во втором. Значит, благоприятствующих пар \(2(6 - d)\).
Отсюда: при \(d = 1\) пар \(2 \cdot 5 = 10\); при \(d = 2\) пар \(2 \cdot 4 = 8\); при \(d = 3\) пар \(2 \cdot 3 = 6\); при \(d = 4\) пар \(2 \cdot 2 = 4\); при \(d = 5\) пар \(2 \cdot 1 = 2\).
Вероятности: \(\mathrm{P}(Z = 0) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\); \(\mathrm{P}(Z = 1) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}\); \(\mathrm{P}(Z = 2) = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}\); \(\mathrm{P}(Z = 3) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\); \(\mathrm{P}(Z = 4) = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}\); \(\mathrm{P}(Z = 5) = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}\).
\[Z \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \frac{1}{6} & \frac{5}{18} & \frac{2}{9} & \frac{1}{6} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{pmatrix}.\]
Проверка: благоприятствующих пар в сумме \(6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 36\) — каждая пара учтена ровно один раз, и сумма вероятностей всех значений равна \(\dfrac{36}{36} = 1\).
Ответ: \(Z \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \frac{1}{6} & \frac{5}{18} & \frac{2}{9} & \frac{1}{6} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{pmatrix}\).
