Страница 149 номер 315, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Испытания одинаковы и независимы, вероятность успеха в каждом отдельном испытании одна и та же и равна \(p\), а величина \(Z\) «количество испытаний» равна номеру того испытания, на котором случился первый успех. Событие \(Z = k\) значит, что первые \(k - 1\) испытаний неудачны, а \(k\)-е успешно, поэтому \(\mathrm{P}(Z = k) = q^{k-1} p\), где \(q = 1 - p\). Это геометрическое распределение с параметром \(p\).

а) \(p = 0{,}4\), поэтому \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\) и \(\mathrm{P}(Z = k) = 0{,}6^{k-1} \cdot 0{,}4\).

Запишем то же в обыкновенных дробях: \(0{,}6 = \dfrac{3}{5}\) и \(0{,}4 = \dfrac{2}{5}\), а \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{k-1} = \dfrac{3^{k-1}}{5^{k-1}}\). Поэтому \[\mathrm{P}(Z = k) = \frac{3^{k-1}}{5^{k-1}} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3^{k-1}}{5^{k}}, \text{ где } k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\ .\]

б) \(p = \dfrac{1}{3}\), поэтому \(q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\). Так как \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1} = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k-1}}\), получаем \[\mathrm{P}(Z = k) = \frac{2^{k-1}}{3^{k-1}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2^{k-1}}{3^{k}}, \text{ где } k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\ .\]

Ответ: а) \(\mathrm{P}(Z = k) = \dfrac{2 \cdot 3^{k-1}}{5^{k}}\); б) \(\mathrm{P}(Z = k) = \dfrac{2^{k-1}}{3^{k}}\), где \(k = 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) .