Страница 150 номер 326, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Случайная величина \(V\) имеет распределение \(Bi(10;\ 0{,}2)\). Вычислите вероятность события: а) \(V \leqslant 3\); б) \(V > 4\).
\(V \sim Bi(10;\ 0{,}2)\): \(n = 10\) одинаковых независимых испытаний, \(p = 0{,}2\), \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\), \(V\) — число успехов, и \(\mathrm{P}(V = k) = C_{10}^k \cdot 0{,}2^k \cdot 0{,}8^{\,10-k}\).
а) Событие \(V \leqslant 3\) состоит из несовместных событий \(V = 0\), \(V = 1\), \(V = 2\) и \(V = 3\), поэтому их вероятности складываются.
\(C_{10}^0 = 1\), \(C_{10}^1 = 10\), \(C_{10}^2 = 45\), \(C_{10}^3 = 120\); \(0{,}2^2 = 0{,}04\) и \(0{,}2^3 = 0{,}008\).
Общий множитель всех слагаемых \(0{,}8^7\): \(0{,}8^2 = 0{,}64\), \(0{,}8^4 = 0{,}64^2 = 0{,}4096\), \(0{,}8^7 = 0{,}4096 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}8 = 0{,}2097152\); вынесем его за скобки: \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(V \leqslant 3) = 0{,}8^{10} + 10 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^{9} + 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}8^{8} + 120 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}8^{7} = {} \\ &= 0{,}8^{7} \cdot (0{,}8^{3} + 10 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^{2} + 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}8 + 120 \cdot 0{,}008) = {} \\ &= 0{,}2097152 \cdot (0{,}512 + 1{,}28 + 1{,}44 + 0{,}96) = 0{,}2097152 \cdot 4{,}192 = 0{,}8791261184. \end{aligned}\]
Округляя до тысячных, получаем \(\mathrm{P}(V \leqslant 3) \approx 0{,}879\).
б) Событию \(V > 4\) отвечают шесть значений \(5,\ 6,\ \ldots,\ 10\), поэтому короче считать через противоположное событие: \(\mathrm{P}(V > 4) = 1 - \mathrm{P}(V \leqslant 4)\).
\(C_{10}^4 = 210\), \(0{,}2^4 = 0{,}0016\), \(0{,}8^6 = 0{,}4096 \cdot 0{,}64 = 0{,}262144\), поэтому \[\mathrm{P}(V = 4) = 210 \cdot 0{,}0016 \cdot 0{,}262144 = 0{,}336 \cdot 0{,}262144 = 0{,}088080384.\]
Событие \(V \leqslant 4\) складывается из событий \(V \leqslant 3\) и \(V = 4\): \[\mathrm{P}(V \leqslant 4) = 0{,}8791261184 + 0{,}088080384 = 0{,}9672065024.\]
\[\mathrm{P}(V > 4) = 1 - 0{,}9672065024 = 0{,}0327934976.\]
Округляя до тысячных, получаем \(\mathrm{P}(V > 4) \approx 0{,}033\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(V \leqslant 3) \approx 0{,}879\); б) \(\mathrm{P}(V > 4) \approx 0{,}033\).
Случайная величина \(V\) имеет распределение \(Bi(10;\ 0{,}2)\). Вычислите вероятность события: а) \(V \leqslant 3\); б) \(V > 4\).
Запись \(V \sim Bi(10;\ 0{,}2)\) значит, что проводится серия из \(n = 10\) одинаковых независимых испытаний Бернулли, вероятность успеха в каждом равна \(p = 0{,}2\), вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\), а \(V\) — число успехов. Тогда \(\mathrm{P}(V = k) = C_{10}^k \cdot 0{,}2^k \cdot 0{,}8^{\,10-k}\).
а) Событие \(V \leqslant 3\) состоит из четырёх несовместных событий — \(V = 0\), \(V = 1\), \(V = 2\) и \(V = 3\), — поэтому их вероятности складываются.
Числа сочетаний: \(C_{10}^0 = 1\), \(C_{10}^1 = 10\), \(C_{10}^2 = 45\), \(C_{10}^3 = 120\); степени вероятности успеха: \(0{,}2^2 = 0{,}04\) и \(0{,}2^3 = 0{,}008\).
Во всех четырёх слагаемых есть общий множитель \(0{,}8^7\); его находим последовательным возведением в квадрат: \(0{,}8^2 = 0{,}64\), \(0{,}8^4 = 0{,}64^2 = 0{,}4096\), \(0{,}8^7 = 0{,}4096 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}8 = 0{,}2097152\). Вынесем этот множитель за скобки: \[\begin{aligned} &\mathrm{P}(V \leqslant 3) = 0{,}8^{10} + 10 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^{9} + 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}8^{8} + 120 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}8^{7} = {} \\ &= 0{,}8^{7} \cdot (0{,}8^{3} + 10 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^{2} + 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}8 + 120 \cdot 0{,}008) = {} \\ &= 0{,}2097152 \cdot (0{,}512 + 1{,}28 + 1{,}44 + 0{,}96) = 0{,}2097152 \cdot 4{,}192 = 0{,}8791261184. \end{aligned}\]
Округляя до тысячных, получаем \(\mathrm{P}(V \leqslant 3) \approx 0{,}879\).
б) Событие \(V > 4\) значит, что успехов больше четырёх, то есть величина принимает одно из значений \(5,\ 6,\ \ldots,\ 10\) — это шесть слагаемых. Короче перейти к противоположному событию \(V \leqslant 4\): \(\mathrm{P}(V > 4) = 1 - \mathrm{P}(V \leqslant 4)\).
Числа: \(C_{10}^4 = 210\), \(0{,}2^4 = 0{,}0016\), \(0{,}8^6 = 0{,}4096 \cdot 0{,}64 = 0{,}262144\), поэтому \[\mathrm{P}(V = 4) = 210 \cdot 0{,}0016 \cdot 0{,}262144 = 0{,}336 \cdot 0{,}262144 = 0{,}088080384.\]
Событие \(V \leqslant 4\) складывается из события \(V \leqslant 3\) и события \(V = 4\), значит, \[\mathrm{P}(V \leqslant 4) = 0{,}8791261184 + 0{,}088080384 = 0{,}9672065024.\]
Отсюда \[\mathrm{P}(V > 4) = 1 - 0{,}9672065024 = 0{,}0327934976.\]
Округляя до тысячных, получаем \(\mathrm{P}(V > 4) \approx 0{,}033\).
Ответ: а) \(\mathrm{P}(V \leqslant 3) \approx 0{,}879\); б) \(\mathrm{P}(V > 4) \approx 0{,}033\).
