Страница 149 номер 319, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Составьте таблицу биномиального распределения \(Bi(3;\ 0{,}5)\).
У распределения \(Bi(3;\ 0{,}5)\) параметры \(n = 3\) и \(p = 0{,}5\), вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\), значения \(0,\ 1,\ 2,\ 3\).
Так как \(p = q = 0{,}5\), то \(\mathrm{P}(X = k) = C_3^k \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{\,3-k} = C_3^k \cdot 0{,}5^3 = \dfrac{C_3^k}{8}\).
\(C_3^0 = 1\), \(C_3^1 = 3\), \(C_3^2 = 3\), \(C_3^3 = 1\), поэтому \(\mathrm{P}(X = 0) = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\); \(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\); \(\mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\); \(\mathrm{P}(X = 3) = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\). \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}125 & 0{,}375 & 0{,}375 & 0{,}125 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}125 + 0{,}375 + 0{,}375 + 0{,}125 = 1\).
Ответ: \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}125 & 0{,}375 & 0{,}375 & 0{,}125 \end{pmatrix}\).
Составьте таблицу биномиального распределения \(Bi(3;\ 0{,}5)\).
У распределения \(Bi(3;\ 0{,}5)\) параметры \(n = 3\) и \(p = 0{,}5\), вероятность неудачи \(q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). Величина принимает значения \(0,\ 1,\ 2,\ 3\) — это число успехов в серии из трёх испытаний Бернулли.
Так как \(p = q = 0{,}5\), вероятность упрощается: \(\mathrm{P}(X = k) = C_3^k \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{\,3-k} = C_3^k \cdot 0{,}5^3 = \dfrac{C_3^k}{8}\).
Числа сочетаний: \(C_3^0 = 1\), \(C_3^1 = 3\), \(C_3^2 = 3\), \(C_3^3 = 1\). Поэтому \(\mathrm{P}(X = 0) = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\); \(\mathrm{P}(X = 1) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\); \(\mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\); \(\mathrm{P}(X = 3) = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\). \[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}125 & 0{,}375 & 0{,}375 & 0{,}125 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}125 + 0{,}375 + 0{,}375 + 0{,}125 = 1\) — сумма вероятностей всех значений равна 1.
Ответ: \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}125 & 0{,}375 & 0{,}375 & 0{,}125 \end{pmatrix}\).
