Страница 190 номер 808, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = |x|(x + 2) - 4x\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x(x + 2) - 4x = x^2 - 2x\), при \(x < 0\) — \(y = -x(x + 2) - 4x = -x^2 - 6x\). \[y = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{при } x \geqslant 0, \\ -x^2 - 6x & \text{при } x < 0. \end{cases}\]
При \(x < 0\) график функции совпадает с параболой \(y = -x^2 - 6x\), ветви которой направлены вниз. \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3; \\ y_0 &= -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) = -9 + 18 = 9. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(-3 < 0\), поэтому вершина \((-3; 9)\) принадлежит графику.
При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 - 2x\), ветви которой направлены вверх. \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1; \\ y_0 &= 1^2 - 2 \cdot 1 = -1. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(1 > 0\), поэтому вершина \((1; -1)\) принадлежит графику. Части графика соединяются в точке \((0; 0)\): при \(x = 0\) формула \(y = -x^2 - 6x\) даёт то же значение 0, что и формула \(y = x^2 - 2x\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 8 & 8 & 0 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}\]
При \(m < -1\) прямая \(y = m\) пересекает только левую часть графика — одна общая точка.
При \(m = -1\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы в правой части графика и пересекает его левую часть — две общие точки.
При \(-1 < m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть графика в двух точках, а левую — в одной: три общие точки.
При \(m = 0\) общие точки — \((-6; 0)\), \((0; 0)\) и \((2; 0)\); точка \((0; 0)\), в которой соединяются части графика, считается один раз: три общие точки.
При \(0 < m < 9\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть графика в одной точке, а левую — в двух: три общие точки.
При \(m = 9\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы в левой части графика и пересекает его правую часть — две общие точки.
При \(m > 9\) прямая \(y = m\) пересекает только правую часть графика — одна общая точка.
Значит, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = -1\) и при \(m = 9\).
Ответ: \(m = -1\); \(m = 9\).
Постройте график функции \(y = |x|(x + 2) - 4x\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Раскроем модуль по определению: \(|x| = x\) при \(x \geqslant 0\) и \(|x| = -x\) при \(x < 0\). При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x(x + 2) - 4x = x^2 - 2x\), при \(x < 0\) — \(y = -x(x + 2) - 4x = -x^2 - 6x\). Представим функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{при } x \geqslant 0, \\ -x^2 - 6x & \text{при } x < 0. \end{cases}\] На каждом из промежутков функция является квадратичной. Следовательно, её график состоит из частей двух парабол.
При \(x < 0\) график функции совпадает с параболой \(y = -x^2 - 6x\). Ветви этой параболы направлены вниз. Найдём координаты её вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3; \\ y_0 &= -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) = -9 + 18 = 9. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(-3 < 0\), поэтому вершина \((-3; 9)\) принадлежит графику.
При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 - 2x\). Её ветви направлены вверх. Найдём координаты её вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1; \\ y_0 &= 1^2 - 2 \cdot 1 = -1. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(1 > 0\), поэтому вершина \((1; -1)\) принадлежит графику. Части графика соединяются в точке \((0; 0)\): при \(x = 0\) формула \(y = -x^2 - 6x\) даёт то же значение 0, что и формула \(y = x^2 - 2x\).
Найдём координаты ещё нескольких точек графика: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 8 & 8 & 0 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}\] Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней.
При \(m < -1\) прямая \(y = m\) пересекает только левую часть графика — одна общая точка.
При \(m = -1\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы в правой части графика и пересекает его левую часть — две общие точки.
При \(-1 < m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть графика в двух точках, а левую — в одной: три общие точки.
При \(m = 0\) общие точки — \((-6; 0)\), \((0; 0)\) и \((2; 0)\); точка \((0; 0)\), в которой соединяются части графика, считается один раз: три общие точки.
При \(0 < m < 9\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть графика в одной точке, а левую — в двух: три общие точки.
При \(m = 9\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы в левой части графика и пересекает его правую часть — две общие точки.
При \(m > 9\) прямая \(y = m\) пересекает только правую часть графика — одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = -1\) и при \(m = 9\).
Ответ: \(m = -1\); \(m = 9\).
