Страница 192 номер 828, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

При \(x = 0\) знаменатель \(|x| - 3x^2\) равен нулю, и функция не определена. При \(x \ne 0\) раскроем модуль по определению: \(|x| = x\) при \(x > 0\) и \(|x| = -x\) при \(x < 0\).

При \(x > 0\) получаем \[y = \frac{3x - 1}{x - 3x^2} = \frac{3x - 1}{-x(3x - 1)}.\] При \(x = \frac{1}{3}\) знаменатель равен нулю, и функция не определена; при остальных \(x > 0\) множитель \(3x - 1\) не равен нулю, и на него можно сократить дробь: \(y = -\frac{1}{x}\).

При \(x < 0\) получаем \[y = \frac{-3x - 1}{-x - 3x^2} = \frac{-(3x + 1)}{-x(3x + 1)}.\] При \(x = -\frac{1}{3}\) знаменатель равен нулю, и функция не определена; при остальных \(x < 0\) множитель \(3x + 1\) не равен нулю, и на него можно сократить дробь: \(y = \frac{1}{x}\).

Следовательно, функцию можно представить как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} -\frac{1}{x} & \text{при } x > 0 \text{ и } x \ne \frac{1}{3}, \\ \frac{1}{x} & \text{при } x < 0 \text{ и } x \ne -\frac{1}{3}. \end{cases}\] При \(x > 0\) график функции совпадает с ветвью гиперболы \(y = -\frac{1}{x}\), лежащей в IV координатной четверти, а при \(x < 0\) — с ветвью гиперболы \(y = \frac{1}{x}\), лежащей в III четверти; асимптоты обеих гипербол — оси координат. Значит, весь график лежит ниже оси \(x\). Ординаты выколотых точек: при \(x = \frac{1}{3}\) получаем \(-1 : \frac{1}{3} = -3\), при \(x = -\frac{1}{3}\) получаем \(1 : \left(-\frac{1}{3}\right) = -3\); выколоты точки \(\left(-\frac{1}{3}; -3\right)\) и \(\left(\frac{1}{3}; -3\right)\). Найдём координаты нескольких точек: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -2 & -2 & -1 & -0{,}5 \\ \hline \end{array}\]

Построим график функции, выколов из него точки \(\left(-\frac{1}{3}; -3\right)\) и \(\left(\frac{1}{3}; -3\right)\), и прямые \(y = -9x\) и \(y = 9x\).

При каждом значении \(k\) графиком функции \(y = kx\) является прямая, проходящая через начало координат.

При \(k = 0\) это ось \(x\); весь график лежит ниже неё, поэтому общих точек нет.

При \(k \ne 0\) найдём абсциссы общих точек на каждой части графика. На части графика при \(x > 0\) это положительные корни уравнения \(-\frac{1}{x} = kx\), отличные от \(\frac{1}{3}\); умножив обе его части на \(x \ne 0\), получим \(kx^2 = -1\). На части графика при \(x < 0\) это отрицательные корни уравнения \(\frac{1}{x} = kx\), отличные от \(-\frac{1}{3}\); умножив обе его части на \(x \ne 0\), получим \(kx^2 = 1\).

Если \(k > 0\), то \(kx^2 \geqslant 0\), и уравнение \(kx^2 = -1\) корней не имеет. Уравнение \(kx^2 = 1\), то есть \(x^2 = \frac{1}{k}\), имеет ровно один отрицательный корень; он равен \(-\frac{1}{3}\) при \(\frac{1}{k} = \frac{1}{9}\), то есть при \(k = 9\). Значит, прямая \(y = 9x\) проходит через выколотую точку \(\left(-\frac{1}{3}; -3\right)\) и не имеет с графиком общих точек, а при остальных \(k > 0\) общая точка одна.

Если \(k < 0\), то \(kx^2 \leqslant 0\), и уравнение \(kx^2 = 1\) корней не имеет. Уравнение \(kx^2 = -1\), то есть \(x^2 = -\frac{1}{k}\), имеет ровно один положительный корень; он равен \(\frac{1}{3}\) при \(-\frac{1}{k} = \frac{1}{9}\), то есть при \(k = -9\). Значит, прямая \(y = -9x\) проходит через выколотую точку \(\left(\frac{1}{3}; -3\right)\) и не имеет с графиком общих точек, а при остальных \(k < 0\) общая точка одна.

Таким образом, прямая \(y = kx\) не имеет с графиком общих точек при \(k = -9\), \(k = 0\) и \(k = 9\).

Ответ: \(k = -9\); \(k = 0\); \(k = 9\).