Страница 190 номер 807, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = x|x| + |x| - 2x\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x \cdot x + x - 2x = x^2 - x\), при \(x < 0\) — \(y = x \cdot (-x) + (-x) - 2x = -x^2 - 3x\). \[y = \begin{cases} x^2 - x & \text{при } x \geqslant 0, \\ -x^2 - 3x & \text{при } x < 0. \end{cases}\]
При \(x < 0\) график функции совпадает с параболой \(y = -x^2 - 3x\), ветви которой направлены вниз. \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -1{,}5; \\ y_0 &= -(-1{,}5)^2 - 3 \cdot (-1{,}5) = -2{,}25 + 4{,}5 = 2{,}25. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(-1{,}5 < 0\), поэтому вершина \((-1{,}5; 2{,}25)\) принадлежит графику.
При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 - x\), ветви которой направлены вверх. \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0{,}5; \\ y_0 &= 0{,}5^2 - 0{,}5 = 0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}25. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(0{,}5 > 0\), поэтому вершина \((0{,}5; -0{,}25)\) принадлежит графику. Части графика соединяются в точке \((0; 0)\): при \(x = 0\) формула \(y = -x^2 - 3x\) даёт то же значение 0, что и формула \(y = x^2 - x\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 \\ \hline \end{array}\]
При \(m < -0{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает только левую часть графика — одна общая точка.
При \(m = -0{,}25\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы в правой части графика и пересекает его левую часть — две общие точки.
При \(-0{,}25 < m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть графика в двух точках, а левую — в одной: три общие точки.
При \(m = 0\) общие точки — \((-3; 0)\), \((0; 0)\) и \((1; 0)\); точка \((0; 0)\), в которой соединяются части графика, считается один раз: три общие точки.
При \(0 < m < 2{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть графика в одной точке, а левую — в двух: три общие точки.
При \(m = 2{,}25\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы в левой части графика и пересекает его правую часть — две общие точки.
При \(m > 2{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает только правую часть графика — одна общая точка.
Значит, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = -0{,}25\) и при \(m = 2{,}25\).
Ответ: \(m = -0{,}25\); \(m = 2{,}25\).
Постройте график функции \(y = x|x| + |x| - 2x\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Раскроем модуль по определению: \(|x| = x\) при \(x \geqslant 0\) и \(|x| = -x\) при \(x < 0\). При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x \cdot x + x - 2x = x^2 - x\), при \(x < 0\) — \(y = x \cdot (-x) + (-x) - 2x = -x^2 - 3x\). Представим функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} x^2 - x & \text{при } x \geqslant 0, \\ -x^2 - 3x & \text{при } x < 0. \end{cases}\] На каждом из промежутков функция является квадратичной. Следовательно, её график состоит из частей двух парабол.
При \(x < 0\) график функции совпадает с параболой \(y = -x^2 - 3x\). Ветви этой параболы направлены вниз. Найдём координаты её вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -1{,}5; \\ y_0 &= -(-1{,}5)^2 - 3 \cdot (-1{,}5) = -2{,}25 + 4{,}5 = 2{,}25. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(-1{,}5 < 0\), поэтому вершина \((-1{,}5; 2{,}25)\) принадлежит графику.
При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 - x\). Её ветви направлены вверх. Найдём координаты её вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0{,}5; \\ y_0 &= 0{,}5^2 - 0{,}5 = 0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}25. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(0{,}5 > 0\), поэтому вершина \((0{,}5; -0{,}25)\) принадлежит графику. Части графика соединяются в точке \((0; 0)\): при \(x = 0\) формула \(y = -x^2 - 3x\) даёт то же значение 0, что и формула \(y = x^2 - x\).
Найдём координаты ещё нескольких точек графика: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 \\ \hline \end{array}\] Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней.
При \(m < -0{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает только левую часть графика — одна общая точка.
При \(m = -0{,}25\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы в правой части графика и пересекает его левую часть — две общие точки.
При \(-0{,}25 < m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть графика в двух точках, а левую — в одной: три общие точки.
При \(m = 0\) общие точки — \((-3; 0)\), \((0; 0)\) и \((1; 0)\); точка \((0; 0)\), в которой соединяются части графика, считается один раз: три общие точки.
При \(0 < m < 2{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть графика в одной точке, а левую — в двух: три общие точки.
При \(m = 2{,}25\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы в левой части графика и пересекает его правую часть — две общие точки.
При \(m > 2{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает только правую часть графика — одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = -0{,}25\) и при \(m = 2{,}25\).
Ответ: \(m = -0{,}25\); \(m = 2{,}25\).
