Страница 182 номер 786, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый марафон. Первый ехал со скоростью на 6 км/ч большей, чем второй, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Дано:
\(s = 140\) км — длина марафона
\(v_1 = v_2 + 6\) км/ч — скорость первого велосипедиста (\(v_2\) — скорость второго)
\(t_2 - t_1 = 3\) ч — первый прибыл к финишу раньше второго
Найти: \(v_2\) — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Решение:
Первый велосипедист прибыл к финишу раньше, поэтому вторым пришёл второй велосипедист. Пусть \(v_2 = x\) км/ч, тогда \(v_1 = (x + 6)\) км/ч; скорость \(x\) положительна. Второй велосипедист проехал марафон за \(\frac{140}{x}\) ч, первый — за \(\frac{140}{x + 6}\) ч, то есть на 3 ч быстрее.
При \(x > 0\) общий знаменатель дробей \(x(x + 6)\) положителен: \[\begin{aligned} \frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} &= 3; \qquad | \cdot x(x + 6) \\ 140(x + 6) - 140x &= 3x(x + 6); \\ 140x + 840 - 140x &= 3x^2 + 18x; \\ 840 &= 3x^2 + 18x; \\ 3x^2 + 18x - 840 &= 0; \qquad | : 3 \\ x^2 + 6x - 280 &= 0; \\ D &= 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156; \\ x_1 &= \frac{-6 - \sqrt{1156}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 34}{2} = -20; \\ x_2 &= \frac{-6 + \sqrt{1156}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 34}{2} = 14. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень \(-20\) не подходит. Значит, скорость второго велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 14 км/ч.
Проверка: второй велосипедист был в пути \(140 : 14 = 10\) (ч); первый ехал со скоростью \(14 + 6 = 20\) (км/ч) и был в пути \(140 : 20 = 7\) (ч), то есть на \(10 - 7 = 3\) (ч) меньше.
Ответ: 14 км/ч.
Два велосипедиста одновременно отправились в 140-километровый марафон. Первый ехал со скоростью на 6 км/ч большей, чем второй, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Дано:
\(s = 140\) км — длина марафона
\(v_1 = v_2 + 6\) км/ч — скорость первого велосипедиста (\(v_2\) — скорость второго)
\(t_2 - t_1 = 3\) ч — первый прибыл к финишу раньше второго
Найти: \(v_2\) — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Решение:
Первый велосипедист прибыл к финишу раньше второго, поэтому вторым к финишу пришёл второй велосипедист. Пусть \(v_2 = x\) км/ч, тогда \(v_1 = (x + 6)\) км/ч; скорость \(x\) положительна. Второй велосипедист проехал марафон за \(\frac{140}{x}\) ч, первый — за \(\frac{140}{x + 6}\) ч, то есть на 3 ч быстрее.
Составим уравнение и преобразуем его, воспользовавшись тем, что \(x > 0\). При \(x > 0\) общий знаменатель дробей \(x(x + 6)\) положителен; умножим обе части уравнения на положительное число \(x(x + 6)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 3: \[\begin{aligned} \frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} &= 3; \qquad | \cdot x(x + 6) \\ 140(x + 6) - 140x &= 3x(x + 6); \\ 140x + 840 - 140x &= 3x^2 + 18x; \\ 840 &= 3x^2 + 18x; \\ 3x^2 + 18x - 840 &= 0; \qquad | : 3 \\ x^2 + 6x - 280 &= 0; \\ D &= 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-6 - \sqrt{1156}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 34}{2} = -20; \\ x_2 &= \frac{-6 + \sqrt{1156}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 34}{2} = 14. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому первый корень не подходит. Значит, скорость второго велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 14 км/ч.
Проверка: второй велосипедист был в пути \(140 : 14 = 10\) (ч); первый ехал со скоростью \(14 + 6 = 20\) (км/ч) и был в пути \(140 : 20 = 7\) (ч), то есть на \(10 - 7 = 3\) (ч) меньше.
Ответ: 14 км/ч.
