Страница 192 номер 829, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = x^2 - |4x + 3|\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Если \(4x + 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -0{,}75\), то \(|4x + 3| = 4x + 3\) и \(y = x^2 - 4x - 3\).
Если \(4x + 3 < 0\), то есть \(x < -0{,}75\), то \(|4x + 3| = -(4x + 3)\) и \(y = x^2 + 4x + 3\).
Значит, \[y = \begin{cases} x^2 - 4x - 3 & \text{при } x \geqslant -0{,}75, \\ x^2 + 4x + 3 & \text{при } x < -0{,}75. \end{cases}\] Выделим полные квадраты: \[\begin{aligned} x^2 - 4x - 3 &= (x - 2)^2 - 7; \\ x^2 + 4x + 3 &= (x + 2)^2 - 1. \end{aligned}\] При \(x \geqslant -0{,}75\) график — часть параболы \(y = x^2 - 4x - 3\) с вершиной \((2; -7)\), ветви направлены вверх; ещё точки: \((0; -3)\), \((1; -6)\), \((3; -6)\), \((4; -3)\), \((5; 2)\).
При \(x < -0{,}75\) график — часть параболы \(y = x^2 + 4x + 3\) с вершиной \((-2; -1)\), ветви направлены вверх; ещё точки: \((-1; 0)\), \((-3; 0)\), \((-4; 3)\).
При \(x = -0{,}75\) оба выражения принимают одно и то же значение: \((-0{,}75)^2 - 4 \cdot (-0{,}75) - 3 = 0{,}5625 + 3 - 3 = 0{,}5625\) и \((-0{,}75)^2 + 4 \cdot (-0{,}75) + 3 = 0{,}5625 - 3 + 3 = 0{,}5625\), поэтому части графика соединяются в точке \((-0{,}75; 0{,}5625)\), которая принадлежит графику.
Левая часть графика — при \(x < -0{,}75\), правая — при \(x \geqslant -0{,}75\).
При \(m < -7\) прямая \(y = m\) лежит ниже графика — общих точек нет.
При \(m = -7\) прямая \(y = -7\) проходит через вершину \((2; -7)\) правой части — одна общая точка.
При \(-7 < m < -1\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть в двух точках, по одной с каждой стороны от вершины \((2; -7)\), а с левой частью общих точек не имеет — две общие точки.
При \(m = -1\) прямая \(y = -1\) проходит через вершину \((-2; -1)\) левой части и пересекает правую часть в двух точках — три общие точки.
При \(-1 < m < 0{,}5625\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в двух точках — четыре общие точки.
При \(m = 0{,}5625\) прямая \(y = m\) проходит через точку соединения частей \((-0{,}75; 0{,}5625)\), а кроме неё пересекает левую часть в точке \((-3{,}25; 0{,}5625)\) и правую — в точке \((4{,}75; 0{,}5625)\): три общие точки.
При \(m > 0{,}5625\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в одной точке — две общие точки.
Ответ: \(m = -1\); \(m = 0{,}5625\).
Постройте график функции \(y = x^2 - |4x + 3|\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Раскроем модуль по определению. Если \(4x + 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -0{,}75\), то \(|4x + 3| = 4x + 3\) и \(y = x^2 - 4x - 3\). Если \(4x + 3 < 0\), то есть \(x < -0{,}75\), то \(|4x + 3| = -(4x + 3)\) и \(y = x^2 + 4x + 3\). Представим функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} x^2 - 4x - 3 & \text{при } x \geqslant -0{,}75, \\ x^2 + 4x + 3 & \text{при } x < -0{,}75. \end{cases}\] На каждом из промежутков функция является квадратичной, поэтому её график состоит из частей двух парабол. Выделим полные квадраты: \[\begin{aligned} x^2 - 4x - 3 &= (x - 2)^2 - 7; \\ x^2 + 4x + 3 &= (x + 2)^2 - 1. \end{aligned}\] При \(x \geqslant -0{,}75\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 - 4x - 3\). Её ветви направлены вверх, а вершина расположена в точке \((2; -7)\). Ещё несколько её точек: \((0; -3)\), \((1; -6)\), \((3; -6)\), \((4; -3)\), \((5; 2)\).
При \(x < -0{,}75\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 + 4x + 3\). Её ветви направлены вверх, а вершина расположена в точке \((-2; -1)\). Ещё несколько её точек: \((-1; 0)\), \((-3; 0)\), \((-4; 3)\).
При \(x = -0{,}75\) оба выражения принимают одно и то же значение: \((-0{,}75)^2 - 4 \cdot (-0{,}75) - 3 = 0{,}5625 + 3 - 3 = 0{,}5625\) и \((-0{,}75)^2 + 4 \cdot (-0{,}75) + 3 = 0{,}5625 - 3 + 3 = 0{,}5625\). Поэтому части графика соединяются в точке \((-0{,}75; 0{,}5625)\), которая принадлежит графику.
Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая имеет с графиком ровно три общие точки. Назовём левой частью графика его часть при \(x < -0{,}75\), правой — при \(x \geqslant -0{,}75\).
При \(m < -7\) прямая \(y = m\) лежит ниже графика — общих точек нет.
При \(m = -7\) прямая \(y = -7\) проходит через вершину \((2; -7)\) правой части — одна общая точка.
При \(-7 < m < -1\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть в двух точках, по одной с каждой стороны от вершины \((2; -7)\), а с левой частью общих точек не имеет — две общие точки.
При \(m = -1\) прямая \(y = -1\) проходит через вершину \((-2; -1)\) левой части и пересекает правую часть в двух точках — три общие точки.
При \(-1 < m < 0{,}5625\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в двух точках — четыре общие точки.
При \(m = 0{,}5625\) прямая \(y = m\) проходит через точку соединения частей \((-0{,}75; 0{,}5625)\), а кроме неё пересекает левую часть в точке \((-3{,}25; 0{,}5625)\) и правую — в точке \((4{,}75; 0{,}5625)\): три общие точки.
При \(m > 0{,}5625\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в одной точке — две общие точки.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(m = -1\) и при \(m = 0{,}5625\).
Ответ: \(m = -1\); \(m = 0{,}5625\).
