Страница 177 номер 784, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Заметим, что \(x \neq 0\): при \(x = 0\) произведение \(xy\) равно нулю при любом \(y\), и второе уравнение системы не выполняется. Выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения системы: \(y = -\frac{12}{x}\) — и подставим это выражение в первое уравнение. Получим уравнение \(x^2 + \frac{144}{x^2} = 40\). Умножим обе его части на \(x^2\) — это число не равно нулю, так как \(x \neq 0\): \[\begin{aligned} x^2 + \frac{144}{x^2} &= 40; \qquad | \cdot x^2 \\ x^4 + 144 &= 40x^2; \\ x^4 - 40x^2 + 144 &= 0. \end{aligned}\] Сделав замену \(x^2 = t\), получаем квадратное уравнение \(t^2 - 40t + 144 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, его корнями являются числа 4 и 36 (\(4 + 36 = 40\), \(4 \cdot 36 = 144\)).

При \(t = 4\) получаем \(x^2 = 4\), откуда \(x = -2\) или \(x = 2\).

При \(t = 36\) получаем \(x^2 = 36\), откуда \(x = -6\) или \(x = 6\).

Подставляя найденные значения в формулу \(y = -\frac{12}{x}\), получаем: при \(x = -6\) значение \(y = 2\), при \(x = -2\) значение \(y = 6\), при \(x = 2\) значение \(y = -6\), при \(x = 6\) значение \(y = -2\). Проверка: \((-6)^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40\) и \(-6 \cdot 2 = -12\);
\((-2)^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40\) и \(-2 \cdot 6 = -12\);
\(2^2 + (-6)^2 = 4 + 36 = 40\) и \(2 \cdot (-6) = -12\);
\(6^2 + (-2)^2 = 36 + 4 = 40\) и \(6 \cdot (-2) = -12\). Значит, решения системы — пары \((-6; 2)\), \((-2; 6)\), \((2; -6)\) и \((6; -2)\).

б) Выражения \(\frac{1}{y}\) и \(\frac{4}{y}\) имеют смысл при \(y \neq 0\). Умножим обе части первого уравнения системы на \(-4\): \[\begin{cases} x^2 + \frac{1}{y} = 7, & | \cdot (-4) \\ \frac{4}{y} - 3x^2 = 21; \end{cases}\] \[\begin{cases} -4x^2 - \frac{4}{y} = -28, \\ \frac{4}{y} - 3x^2 = 21. \end{cases}\] Сложим уравнения полученной системы — слагаемые \(-\frac{4}{y}\) и \(\frac{4}{y}\) взаимно уничтожатся: \[\begin{aligned} \left(-4x^2 - \frac{4}{y}\right) + \left(\frac{4}{y} - 3x^2\right) &= -28 + 21; \\ -7x^2 &= -7; \qquad | : (-7) \\ x^2 &= 1. \end{aligned}\] Значит, \(x = -1\) или \(x = 1\). Подставим \(x^2 = 1\) в первое уравнение исходной системы: \(1 + \frac{1}{y} = 7\);
\(\frac{1}{y} = 6\);
\(y = \frac{1}{6}\). Для обоих найденных значений \(x\) получаем \(y = \frac{1}{6}\). Проверка: при \(x^2 = 1\) и \(\frac{1}{y} = 6\) левые части уравнений системы равны \(1 + 6 = 7\) и \(4 \cdot 6 - 3 \cdot 1 = 24 - 3 = 21\). Значит, решения системы — пары \(\left(-1; \frac{1}{6}\right)\) и \(\left(1; \frac{1}{6}\right)\).

в) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому из второго уравнения системы получаем: \(x = 4\) или \(y = 6\).

Подставим \(x = 4\) в первое уравнение системы: \(\frac{y - 4}{4 + y - 8} = 2\), то есть \(\frac{y - 4}{y - 4} = 2\). При \(y \neq 4\) левая часть этого уравнения равна 1, а не 2, а при \(y = 4\) её знаменатель равен нулю, и она не имеет смысла. Получившееся уравнение не имеет решений. Значит, при \(x = 4\) система решений не имеет.

Подставим теперь \(y = 6\) в первое уравнение системы: \(\frac{6 - 4}{x + 6 - 8} = 2\), то есть \(\frac{2}{x - 2} = 2\). Дробь с числителем 2 равна 2 только тогда, когда её знаменатель равен 1: \(x - 2 = 1\), откуда \(x = 3\). Проверка: \(\frac{6 - 4}{3 + 6 - 8} = \frac{2}{1} = 2\) и \((3 - 4)(6 - 6) = -1 \cdot 0 = 0\). Значит, система имеет единственное решение \((3; 6)\).

Ответ: а) \((-6; 2)\); \((-2; 6)\); \((2; -6)\); \((6; -2)\); б) \(\left(-1; \frac{1}{6}\right)\); \(\left(1; \frac{1}{6}\right)\); в) \((3; 6)\).