Страница 190 номер 810, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

При \(x = 3\) функция не определена: знаменатель дроби обращается в нуль.

Определим, при каких значениях \(x\) выражение под знаком модуля принимает неотрицательные значения. Для этого решим неравенство \(\frac{x - 4}{x - 3} \geqslant 0\) методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = 4\), знаменатель — при \(x = 3\). При \(x > 4\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. Числитель \(x - 4\) меняет знак только при переходе через 4, знаменатель \(x - 3\) — только при переходе через 3, поэтому при переходе через каждую из этих точек знак дроби меняется: на промежутке \((3; 4)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; 3)\) — положительна.

Неравенство нестрогое, поэтому число 4, при котором числитель равен нулю, входит в решение. Число 3 в решение не входит: при \(x = 3\) знаменатель равен нулю и дробь не имеет смысла. Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:

Значит, \(\frac{x - 4}{x - 3} \geqslant 0\) при \(x < 3\) и при \(x \geqslant 4\), а \(\frac{x - 4}{x - 3} < 0\) при \(3 < x < 4\). Следовательно, функцию можно представить как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} \frac{x - 4}{x - 3} & \text{при } x < 3, \\ -\frac{x - 4}{x - 3} & \text{при } 3 < x < 4, \\ \frac{x - 4}{x - 3} & \text{при } x \geqslant 4. \end{cases}\] Выделим целую часть дроби: \(\frac{x - 4}{x - 3} = \frac{(x - 3) - 1}{x - 3} = 1 - \frac{1}{x - 3}\).

При \(x < 3\) и при \(x \geqslant 4\) график функции совпадает с гиперболой \(y = 1 - \frac{1}{x - 3}\), асимптотами которой являются прямые \(x = 3\) и \(y = 1\).

При \(3 < x < 4\) график функции совпадает с гиперболой \(y = -\left(1 - \frac{1}{x - 3}\right) = \frac{1}{x - 3} - 1\). Её асимптотами являются прямые \(x = 3\) и \(y = -1\).

Построим график функции, найдя координаты нескольких точек каждой из гипербол: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 2{,}5 & 3{,}25 & 3{,}5 & 4 & 5 & 7 \\ \hline y & 1{,}5 & 2 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0{,}5 & 0{,}75 \\ \hline \end{array}\]

При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. График состоит из трёх частей: левой (при \(x < 3\)), средней (при \(3 < x < 4\)) и правой (при \(x \geqslant 4\)). Левая часть лежит выше асимптоты \(y = 1\): при \(x < 3\) дробь \(\frac{1}{x - 3}\) отрицательна. Средняя часть лежит выше оси \(x\): при \(3 < x < 4\) дробь \(\frac{1}{x - 3}\) больше 1. Правая часть начинается в точке \((4; 0)\) и лежит ниже асимптоты \(y = 1\): при \(x \geqslant 4\) дробь \(\frac{1}{x - 3}\) положительна и не больше 1.

При \(m < 0\) общих точек у графика и прямой \(y = m\) нет.

При \(m = 0\) будет ровно одна общая точка — \((4; 0)\).

При \(0 < m < 1\) будет две общие точки — со средней и с правой частями графика.

При \(m = 1\) будет только одна общая точка — \((3{,}5; 1)\) на средней части графика: левая часть лежит выше прямой \(y = 1\), а правая — ниже.

При \(m > 1\) будет две общие точки — с левой и со средней частями графика.

Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку при \(m = 0\) и при \(m = 1\).

Ответ: \(m = 0\); \(m = 1\).