Страница 192 номер 831, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = 5|x - 3| - x^2 + 7x - 12\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Если \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\), то \(|x - 3| = x - 3\) и \[y = 5(x - 3) - x^2 + 7x - 12 = -x^2 + 12x - 27.\] Если \(x - 3 < 0\), то есть \(x < 3\), то \(|x - 3| = -(x - 3)\) и \[y = -5(x - 3) - x^2 + 7x - 12 = -x^2 + 2x + 3.\] Значит, \[y = \begin{cases} -x^2 + 12x - 27 & \text{при } x \geqslant 3, \\ -x^2 + 2x + 3 & \text{при } x < 3. \end{cases}\] Выделим полные квадраты: \[\begin{aligned} -x^2 + 12x - 27 &= -(x - 6)^2 + 9; \\ -x^2 + 2x + 3 &= -(x - 1)^2 + 4. \end{aligned}\] При \(x \geqslant 3\) график — часть параболы \(y = -x^2 + 12x - 27\) с вершиной \((6; 9)\), ветви направлены вниз; ещё точки: \((4; 5)\), \((5; 8)\), \((7; 8)\), \((8; 5)\), \((9; 0)\).
При \(x < 3\) график — часть параболы \(y = -x^2 + 2x + 3\) с вершиной \((1; 4)\), ветви направлены вниз; ещё точки: \((-1; 0)\), \((0; 3)\), \((2; 3)\).
При \(x = 3\) оба выражения равны нулю: \(-3^2 + 12 \cdot 3 - 27 = -9 + 36 - 27 = 0\) и \(-3^2 + 2 \cdot 3 + 3 = -9 + 6 + 3 = 0\), поэтому части графика соединяются в точке \((3; 0)\), которая принадлежит графику.
Левая часть графика — при \(x < 3\), правая — при \(x \geqslant 3\).
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в одной точке: левую — левее точки \((-1; 0)\), правую — правее точки \((9; 0)\); всего две общие точки.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) проходит через точку \((-1; 0)\) левой части, точку соединения частей \((3; 0)\) и точку \((9; 0)\) правой части — три общие точки.
При \(0 < m < 4\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в двух точках — четыре общие точки.
При \(m = 4\) прямая \(y = 4\) проходит через вершину \((1; 4)\) левой части и пересекает правую часть в двух точках — три общие точки.
При \(4 < m < 9\) прямая \(y = m\) пересекает только правую часть, в двух точках, — две общие точки.
При \(m = 9\) прямая \(y = 9\) проходит через вершину \((6; 9)\) правой части — одна общая точка.
При \(m > 9\) прямая \(y = m\) лежит выше графика — общих точек нет.
Ответ: \(m = 0\); \(m = 4\).
Постройте график функции \(y = 5|x - 3| - x^2 + 7x - 12\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Раскроем модуль по определению. Если \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\), то \(|x - 3| = x - 3\) и \[y = 5(x - 3) - x^2 + 7x - 12 = -x^2 + 12x - 27.\] Если \(x - 3 < 0\), то есть \(x < 3\), то \(|x - 3| = -(x - 3)\) и \[y = -5(x - 3) - x^2 + 7x - 12 = -x^2 + 2x + 3.\] Представим функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} -x^2 + 12x - 27 & \text{при } x \geqslant 3, \\ -x^2 + 2x + 3 & \text{при } x < 3. \end{cases}\] На каждом из промежутков функция является квадратичной, поэтому её график состоит из частей двух парабол. Выделим полные квадраты: \[\begin{aligned} -x^2 + 12x - 27 &= -(x - 6)^2 + 9; \\ -x^2 + 2x + 3 &= -(x - 1)^2 + 4. \end{aligned}\] При \(x \geqslant 3\) график функции совпадает с параболой \(y = -x^2 + 12x - 27\). Её ветви направлены вниз, а вершина расположена в точке \((6; 9)\). Ещё несколько её точек: \((4; 5)\), \((5; 8)\), \((7; 8)\), \((8; 5)\), \((9; 0)\).
При \(x < 3\) график функции совпадает с параболой \(y = -x^2 + 2x + 3\). Её ветви направлены вниз, а вершина расположена в точке \((1; 4)\). Ещё несколько её точек: \((-1; 0)\), \((0; 3)\), \((2; 3)\).
При \(x = 3\) оба выражения равны нулю: \(-3^2 + 12 \cdot 3 - 27 = -9 + 36 - 27 = 0\) и \(-3^2 + 2 \cdot 3 + 3 = -9 + 6 + 3 = 0\). Поэтому части графика соединяются в точке \((3; 0)\), которая принадлежит графику.
Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая имеет с графиком ровно три общие точки. Назовём левой частью графика его часть при \(x < 3\), правой — при \(x \geqslant 3\).
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в одной точке: левую — левее точки \((-1; 0)\), правую — правее точки \((9; 0)\); всего две общие точки.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) проходит через точку \((-1; 0)\) левой части, точку соединения частей \((3; 0)\) и точку \((9; 0)\) правой части — три общие точки.
При \(0 < m < 4\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей в двух точках — четыре общие точки.
При \(m = 4\) прямая \(y = 4\) проходит через вершину \((1; 4)\) левой части и пересекает правую часть в двух точках — три общие точки.
При \(4 < m < 9\) прямая \(y = m\) пересекает только правую часть, в двух точках, — две общие точки.
При \(m = 9\) прямая \(y = 9\) проходит через вершину \((6; 9)\) правой части — одна общая точка.
При \(m > 9\) прямая \(y = m\) лежит выше графика — общих точек нет.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(m = 0\) и при \(m = 4\).
Ответ: \(m = 0\); \(m = 4\).
