Страница 190 номер 811, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{|x| - 2}{|x| - 1}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек.
Функция не определена, когда знаменатель \(|x| - 1\) равен нулю, то есть при \(x = -1\) и при \(x = 1\).
При \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\), и при \(x \ne 1\) \[y = \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{(x - 1) - 1}{x - 1} = 1 - \frac{1}{x - 1}.\] При \(x < 0\) имеем \(|x| = -x\), и при \(x \ne -1\) \[y = \frac{-x - 2}{-x - 1} = \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{(x + 1) + 1}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x + 1}.\] Следовательно, \[y = \begin{cases} 1 - \frac{1}{x - 1} & \text{при } x \geqslant 0 \text{ и } x \ne 1, \\ 1 + \frac{1}{x + 1} & \text{при } x < 0 \text{ и } x \ne -1. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\), \(x \ne 1\) график функции совпадает с гиперболой \(y = 1 - \frac{1}{x - 1}\), асимптотами которой являются прямые \(x = 1\) и \(y = 1\). При \(x < 0\), \(x \ne -1\) график функции совпадает с гиперболой \(y = 1 + \frac{1}{x + 1}\), асимптотами которой являются прямые \(x = -1\) и \(y = 1\).
График состоит из трёх частей: левой (при \(x < -1\)), средней (при \(-1 < x < 1\)) и правой (при \(x > 1\)). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 2 & 3 \\ \hline y & 0{,}5 & 0 & 3 & 2 & 3 & 0 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Правая часть графика лежит ниже асимптоты \(y = 1\): при \(x > 1\) дробь \(\frac{1}{x - 1}\) положительна. Левая часть тоже лежит ниже прямой \(y = 1\): при \(x < -1\) дробь \(\frac{1}{x + 1}\) отрицательна. Средняя часть лежит не ниже прямой \(y = 2\): при \(0 \leqslant x < 1\) имеем \(-1 \leqslant x - 1 < 0\), поэтому \(\frac{1}{x - 1} \leqslant -1\) и \(y \geqslant 2\), причём \(y = 2\) только при \(x = 0\); при \(-1 < x < 0\) имеем \(0 < x + 1 < 1\), поэтому \(\frac{1}{x + 1} > 1\) и \(y > 2\).
При \(m < 1\) прямая \(y = m\) пересекает левую и правую части графика, по одной точке на каждой, — две общие точки.
При \(m = 1\) прямая \(y = m\) совпадает с асимптотой \(y = 1\); левая и правая части графика лежат ниже неё, а средняя — выше, поэтому общих точек нет.
При \(1 < m < 2\) общих точек тоже нет.
При \(m = 2\) — одна общая точка \((0; 2)\).
При \(m > 2\) прямая \(y = m\) пересекает среднюю часть графика в двух точках: левее и правее оси \(y\).
Значит, прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек при \(1 \leqslant m < 2\).
Ответ: \(1 \leqslant m < 2\).
Постройте график функции \(y = \frac{|x| - 2}{|x| - 1}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек.
Функция не определена, когда знаменатель \(|x| - 1\) равен нулю, то есть при \(x = -1\) и при \(x = 1\).
Раскроем модуль по определению. При \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\), и при \(x \ne 1\) выделим целую часть дроби: \[y = \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{(x - 1) - 1}{x - 1} = 1 - \frac{1}{x - 1}.\] При \(x < 0\) имеем \(|x| = -x\), и при \(x \ne -1\) \[y = \frac{-x - 2}{-x - 1} = \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{(x + 1) + 1}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x + 1}.\] Представим функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} 1 - \frac{1}{x - 1} & \text{при } x \geqslant 0 \text{ и } x \ne 1, \\ 1 + \frac{1}{x + 1} & \text{при } x < 0 \text{ и } x \ne -1. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\), \(x \ne 1\) график функции совпадает с гиперболой \(y = 1 - \frac{1}{x - 1}\), асимптотами которой являются прямые \(x = 1\) и \(y = 1\). При \(x < 0\), \(x \ne -1\) график функции совпадает с гиперболой \(y = 1 + \frac{1}{x + 1}\), асимптотами которой являются прямые \(x = -1\) и \(y = 1\).
График состоит из трёх частей: левой (при \(x < -1\)), средней (при \(-1 < x < 1\)) и правой (при \(x > 1\)). Построим его, найдя координаты нескольких точек: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -2 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 2 & 3 \\ \hline y & 0{,}5 & 0 & 3 & 2 & 3 & 0 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Правая часть графика лежит ниже асимптоты \(y = 1\): при \(x > 1\) дробь \(\frac{1}{x - 1}\) положительна. Левая часть тоже лежит ниже прямой \(y = 1\): при \(x < -1\) дробь \(\frac{1}{x + 1}\) отрицательна. Средняя часть лежит не ниже прямой \(y = 2\): при \(0 \leqslant x < 1\) имеем \(-1 \leqslant x - 1 < 0\), поэтому \(\frac{1}{x - 1} \leqslant -1\) и \(y \geqslant 2\), причём \(y = 2\) только при \(x = 0\); при \(-1 < x < 0\) имеем \(0 < x + 1 < 1\), поэтому \(\frac{1}{x + 1} > 1\) и \(y > 2\).
При \(m < 1\) прямая \(y = m\) пересекает левую и правую части графика, по одной точке на каждой, — две общие точки.
При \(m = 1\) прямая \(y = m\) совпадает с асимптотой \(y = 1\); левая и правая части графика лежат ниже неё, а средняя — выше, поэтому общих точек нет.
При \(1 < m < 2\) общих точек тоже нет.
При \(m = 2\) — одна общая точка \((0; 2)\).
При \(m > 2\) прямая \(y = m\) пересекает среднюю часть графика в двух точках: левее и правее оси \(y\).
Таким образом, прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек при \(1 \leqslant m < 2\).
Ответ: \(1 \leqslant m < 2\).
