Страница 182 номер 793, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Дано:
\(v_{\text{теч}} = 3\) км/ч — скорость течения
\(v_{\text{ср}} = 8\) км/ч — средняя скорость лодки на пути туда и обратно
Найти: \(v\) — собственная скорость лодки.
Решение:
Обозначим собственную скорость лодки через \(x\) км/ч, \(x > 3\) (иначе лодка не смогла бы плыть против течения). Скорость лодки по течению — \((x + 3)\) км/ч, против течения — \((x - 3)\) км/ч.
Пусть \(s\) км — расстояние между пристанями, где \(s > 0\); путь туда и обратно равен \(2s\) км.
\(\frac{2s}{8} = \frac{s}{4}\) (ч) — время на путь туда и обратно.
С другой стороны, по течению лодка идёт \(\frac{s}{x + 3}\) ч, а против течения — \(\frac{s}{x - 3}\) ч.
Число \(s\) положительно, а при \(x > 3\) положительно и число \(4(x + 3)(x - 3)\): \[\begin{aligned} \frac{s}{x + 3} + \frac{s}{x - 3} &= \frac{s}{4}; \qquad | : s \\ \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3} &= \frac{1}{4}; \qquad | \cdot 4(x + 3)(x - 3) \\ 4(x - 3) + 4(x + 3) &= (x + 3)(x - 3); \\ 4x - 12 + 4x + 12 &= x^2 - 9; \\ 8x &= x^2 - 9; \\ x^2 - 8x - 9 &= 0; \\ D &= (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100; \\ x_1 &= \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = 9. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень \(-1\) не подходит; корень 9 удовлетворяет условию \(x > 3\). Значит, собственная скорость лодки равна 9 км/ч.
Проверка: по течению лодка идёт со скоростью \(9 + 3 = 12\) (км/ч), против течения — со скоростью \(9 - 3 = 6\) (км/ч). Путь туда и обратно, \(2s\) км, она проходит за \(\frac{s}{12} + \frac{s}{6} = \frac{s}{12} + \frac{2s}{12} = \frac{3s}{12} = \frac{s}{4}\) (ч), поэтому её средняя скорость равна \(2s : \frac{s}{4} = 2s \cdot \frac{4}{s} = 8\) (км/ч).
Ответ: 9 км/ч.
Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Дано:
\(v_{\text{теч}} = 3\) км/ч — скорость течения
\(v_{\text{ср}} = 8\) км/ч — средняя скорость лодки на пути туда и обратно
Найти: \(v\) — собственная скорость лодки.
Решение:
Обозначим собственную скорость лодки через \(x\) км/ч при условии \(x > 3\) (иначе лодка не смогла бы плыть против течения). Тогда в одну сторону лодка идёт по течению со скоростью \((x + 3)\) км/ч, а в другую — против течения со скоростью \((x - 3)\) км/ч.
Расстояние между пристанями в условии не дано; обозначим его через \(s\) км, где \(s > 0\). Путь туда и обратно равен \(2s\) км. Средняя скорость равна отношению всего пути ко всему времени движения, поэтому на путь туда и обратно лодка затрачивает \(\frac{2s}{8} = \frac{s}{4}\) ч. С другой стороны, по течению лодка идёт \(\frac{s}{x + 3}\) ч, а против течения — \(\frac{s}{x - 3}\) ч.
Составим уравнение и преобразуем его, воспользовавшись тем, что \(s > 0\) и \(x > 3\). Разделим обе части уравнения на положительное число \(s\). При \(x > 3\) число \(4(x + 3)(x - 3)\) положительно; умножим на него обе части уравнения, раскроем скобки и перенесём все слагаемые в одну часть: \[\begin{aligned} \frac{s}{x + 3} + \frac{s}{x - 3} &= \frac{s}{4}; \qquad | : s \\ \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3} &= \frac{1}{4}; \qquad | \cdot 4(x + 3)(x - 3) \\ 4(x - 3) + 4(x + 3) &= (x + 3)(x - 3); \\ 4x - 12 + 4x + 12 &= x^2 - 9; \\ 8x &= x^2 - 9; \\ x^2 - 8x - 9 &= 0; \\ D &= (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = 9. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому первый корень не подходит; второй корень удовлетворяет условию \(x > 3\). Значит, собственная скорость лодки равна 9 км/ч.
Проверка: по течению лодка идёт со скоростью \(9 + 3 = 12\) (км/ч), против течения — со скоростью \(9 - 3 = 6\) (км/ч). Путь туда и обратно, \(2s\) км, она проходит за \(\frac{s}{12} + \frac{s}{6} = \frac{s}{12} + \frac{2s}{12} = \frac{3s}{12} = \frac{s}{4}\) (ч), поэтому её средняя скорость равна \(2s : \frac{s}{4} = 2s \cdot \frac{4}{s} = 8\) (км/ч).
Ответ: 9 км/ч.
