Страница 191 номер 818, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 - 2x)|x|}{2x - 4}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
Выражение, задающее функцию, определено при \(x \ne 2\). Сократим дробь на \(x - 2\) — при \(x \ne 2\) этот множитель не равен нулю: \[\frac{(x^2 - 2x)|x|}{2x - 4} = \frac{x(x - 2)|x|}{2(x - 2)} = \frac{x|x|}{2} = 0{,}5x|x|.\] Следовательно, \[y = \begin{cases} 0{,}5x^2 & \text{при } x \geqslant 0 \text{ и } x \ne 2, \\ -0{,}5x^2 & \text{при } x < 0. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с правой ветвью параболы \(y = 0{,}5x^2\), из которой выколота точка с абсциссой 2, а при \(x < 0\) — с левой ветвью параболы \(y = -0{,}5x^2\). Ордината выколотой точки по упрощённой формуле: \(0{,}5 \cdot 2^2 = 2\), то есть выколота точка \((2; 2)\).
Таблица значений выражения \(0{,}5x|x|\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -2 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 2 & 4{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Уравнение \(0{,}5x|x| = m\) при любом \(m\) имеет ровно один корень: при \(x \geqslant 0\) выражение \(0{,}5x|x|\) равно \(0{,}5x^2\) и неотрицательно, при \(x < 0\) оно равно \(-0{,}5x^2\) и отрицательно, поэтому при \(m \geqslant 0\) корень равен \(\sqrt{2m}\), а при \(m < 0\) он равен \(-\sqrt{-2m}\).
При \(m < 2\) прямая \(y = m\) пересекает график ровно в одной точке.
При \(m = 2\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((2; 2)\): корень уравнения \(0{,}5x|x| = 2\) равен \(\sqrt{2 \cdot 2} = 2\), и других точек графика функции \(y = 0{,}5x|x|\) на этой прямой нет — точек пересечения нет.
При \(m > 2\) прямая \(y = m\) снова пересекает график ровно в одной точке.
Значит, прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки при \(m = 2\).
Ответ: \(m = 2\).
Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 - 2x)|x|}{2x - 4}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
Выражение, задающее функцию, определено при \(x \ne 2\). Упростим это выражение: разложим многочлены \(x^2 - 2x\) и \(2x - 4\) на множители и сократим дробь на \(x - 2\) — при \(x \ne 2\) этот множитель не равен нулю: \[\frac{(x^2 - 2x)|x|}{2x - 4} = \frac{x(x - 2)|x|}{2(x - 2)} = \frac{x|x|}{2} = 0{,}5x|x|.\] Таким образом, на всей области определения функции выполнено равенство \(y = 0{,}5x|x|\). Раскроем модуль и представим эту функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} 0{,}5x^2 & \text{при } x \geqslant 0 \text{ и } x \ne 2, \\ -0{,}5x^2 & \text{при } x < 0. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с правой ветвью параболы \(y = 0{,}5x^2\), из которой выколота точка с абсциссой 2, а при \(x < 0\) — с левой ветвью параболы \(y = -0{,}5x^2\). Ординату выколотой точки найдём по упрощённой формуле: \(0{,}5 \cdot 2^2 = 2\), то есть выколота точка \((2; 2)\).
Составим таблицу значений выражения \(0{,}5x|x|\) и построим график функции, выколов из него точку \((2; 2)\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & -2 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 2 & 4{,}5 \\ \hline \end{array}\]
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Уравнение \(0{,}5x|x| = m\) при любом \(m\) имеет ровно один корень: при \(x \geqslant 0\) выражение \(0{,}5x|x|\) равно \(0{,}5x^2\) и неотрицательно, при \(x < 0\) оно равно \(-0{,}5x^2\) и отрицательно, поэтому при \(m \geqslant 0\) корень равен \(\sqrt{2m}\), а при \(m < 0\) он равен \(-\sqrt{-2m}\).
При \(m < 2\) прямая \(y = m\) пересекает график ровно в одной точке.
При \(m = 2\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((2; 2)\): корень уравнения \(0{,}5x|x| = 2\) равен \(\sqrt{2 \cdot 2} = 2\), и других точек графика функции \(y = 0{,}5x|x|\) на этой прямой нет. Таким образом, точек пересечения нет.
При \(m > 2\) прямая \(y = m\) снова пересекает график ровно в одной точке.
Следовательно, прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки при \(m = 2\).
Ответ: \(m = 2\).
