Страница 190 номер 813, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

При \(x = -1\) функция не определена: знаменатель дроби обращается в нуль.

Определим, при каких значениях \(x\) выражение под знаком модуля принимает неотрицательные значения. Для этого решим неравенство \(\frac{2x - 1}{x + 1} \geqslant 0\) методом интервалов. Числитель обращается в нуль при \(x = 0{,}5\), знаменатель — при \(x = -1\). При \(x > 0{,}5\) числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь положительна. Числитель \(2x - 1\) меняет знак только при переходе через \(0{,}5\), знаменатель \(x + 1\) — только при переходе через \(-1\), поэтому при переходе через каждую из этих точек знак дроби меняется: на промежутке \((-1; 0{,}5)\) дробь отрицательна, на промежутке \((-\infty; -1)\) — положительна.

Неравенство нестрогое, поэтому число \(0{,}5\), при котором числитель равен нулю, входит в решение. Число \(-1\) в решение не входит: при \(x = -1\) знаменатель равен нулю и дробь не имеет смысла. Отметим эти точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:

Значит, \(\frac{2x - 1}{x + 1} \geqslant 0\) при \(x < -1\) и при \(x \geqslant 0{,}5\), а \(\frac{2x - 1}{x + 1} < 0\) при \(-1 < x < 0{,}5\). Следовательно, функцию можно представить как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} \frac{2x - 1}{x + 1} & \text{при } x < -1, \\ -\frac{2x - 1}{x + 1} & \text{при } -1 < x < 0{,}5, \\ \frac{2x - 1}{x + 1} & \text{при } x \geqslant 0{,}5. \end{cases}\] Выделим целую часть дроби: \(\frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{2(x + 1) - 3}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}\).

При \(x < -1\) и при \(x \geqslant 0{,}5\) график функции совпадает с гиперболой \(y = 2 - \frac{3}{x + 1}\), асимптотами которой являются прямые \(x = -1\) и \(y = 2\).

При \(-1 < x < 0{,}5\) график функции совпадает с гиперболой \(y = -\left(2 - \frac{3}{x + 1}\right) = \frac{3}{x + 1} - 2\). Её асимптотами являются прямые \(x = -1\) и \(y = -2\).

Построим график функции, найдя координаты нескольких точек каждой из гипербол: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & -0{,}5 & -0{,}25 & 0 & 0{,}5 & 2 & 5 \\ \hline y & 3 & 5 & 4 & 2 & 1 & 0 & 1 & 1{,}5 \\ \hline \end{array}\]

При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. График состоит из трёх частей: левой (при \(x < -1\)), средней (при \(-1 < x < 0{,}5\)) и правой (при \(x \geqslant 0{,}5\)). Левая часть лежит выше асимптоты \(y = 2\): при \(x < -1\) дробь \(\frac{3}{x + 1}\) отрицательна. Средняя часть лежит выше оси \(x\): при \(-1 < x < 0{,}5\) дробь \(\frac{3}{x + 1}\) больше 2. Правая часть начинается в точке \((0{,}5; 0)\) и лежит ниже асимптоты \(y = 2\): при \(x \geqslant 0{,}5\) дробь \(\frac{3}{x + 1}\) положительна и не больше 2.

При \(m < 0\) общих точек у графика и прямой \(y = m\) нет.

При \(m = 0\) будет ровно одна общая точка — \((0{,}5; 0)\).

При \(0 < m < 2\) будет две общие точки — со средней и с правой частями графика.

При \(m = 2\) будет только одна общая точка — \((-0{,}25; 2)\) на средней части графика: левая часть лежит выше прямой \(y = 2\), а правая — ниже.

При \(m > 2\) будет две общие точки — с левой и со средней частями графика.

Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком хотя бы одну общую точку при \(m \geqslant 0\).

Ответ: \(m \geqslant 0\).