Страница 191 номер 822, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{(0{,}75x^2 - 0{,}75x) \cdot |x|}{x - 1}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
Выражение определено при \(x \ne 1\). Так как \(0{,}75x^2 - 0{,}75x = 0{,}75x(x - 1)\), а при \(x \ne 1\) множитель \(x - 1\) не равен нулю, сократим на него дробь: \[\frac{(0{,}75x^2 - 0{,}75x) \cdot |x|}{x - 1} = \frac{0{,}75x(x - 1) \cdot |x|}{x - 1} = 0{,}75x|x|.\] Значит, \[y = \begin{cases} 0{,}75x^2 & \text{при } x \geqslant 0 \text{ и } x \ne 1, \\ -0{,}75x^2 & \text{при } x < 0. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\) график — часть параболы \(y = 0{,}75x^2\) (точки \((0; 0)\), \((2; 3)\)), при \(x < 0\) — часть параболы \(y = -0{,}75x^2\) (точки \((-1; -0{,}75)\), \((-2; -3)\)).
\(0{,}75 \cdot 1 \cdot |1| = 0{,}75\) — ордината выколотой точки \((1; 0{,}75)\).
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы \(y = -0{,}75x^2\) — одна общая точка.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) (ось \(x\)) имеет с графиком одну общую точку \(O(0; 0)\).
При \(0 < m < 0{,}75\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы \(y = 0{,}75x^2\) — одна общая точка.
При \(m = 0{,}75\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((1; 0{,}75)\), а других точек с ординатой \(0{,}75\) на графике нет: при \(x < 0\) значения \(-0{,}75x^2\) отрицательны, а при \(x \geqslant 0\) равенство \(0{,}75x^2 = 0{,}75\) выполняется только при \(x = 1\). Общих точек нет.
При \(m > 0{,}75\) прямая \(y = m\) снова пересекает часть параболы \(y = 0{,}75x^2\) в одной точке.
Ответ: \(m = 0{,}75\).
Постройте график функции \(y = \frac{(0{,}75x^2 - 0{,}75x) \cdot |x|}{x - 1}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
Выражение, задающее функцию, определено при \(x \ne 1\). Разложим числитель на множители: \(0{,}75x^2 - 0{,}75x = 0{,}75x(x - 1)\). При \(x \ne 1\) множитель \(x - 1\) не равен нулю, и на него можно сократить дробь: \[\frac{(0{,}75x^2 - 0{,}75x) \cdot |x|}{x - 1} = \frac{0{,}75x(x - 1) \cdot |x|}{x - 1} = 0{,}75x|x|.\] Таким образом, на всей области определения функции выполнено равенство \(y = 0{,}75x|x|\). Раскроем модуль по определению: \(|x| = x\) при \(x \geqslant 0\) и \(|x| = -x\) при \(x < 0\). Представим функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} 0{,}75x^2 & \text{при } x \geqslant 0 \text{ и } x \ne 1, \\ -0{,}75x^2 & \text{при } x < 0. \end{cases}\] При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с частью параболы \(y = 0{,}75x^2\) (точки \((0; 0)\), \((2; 3)\)), а при \(x < 0\) — с частью параболы \(y = -0{,}75x^2\) (точки \((-1; -0{,}75)\), \((-2; -3)\)). Ордината выколотой точки — значение выражения \(0{,}75x|x|\) при \(x = 1\): \(0{,}75 \cdot 1 \cdot |1| = 0{,}75\). Построим график функции, выколов из него точку \((1; 0{,}75)\).
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая не имеет с графиком ни одной общей точки.
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы \(y = -0{,}75x^2\) — одна общая точка.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) (ось \(x\)) имеет с графиком одну общую точку \(O(0; 0)\).
При \(0 < m < 0{,}75\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы \(y = 0{,}75x^2\) — одна общая точка.
При \(m = 0{,}75\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((1; 0{,}75)\). Других точек с ординатой \(0{,}75\) на графике нет: при \(x < 0\) значения \(-0{,}75x^2\) отрицательны, а при \(x \geqslant 0\) равенство \(0{,}75x^2 = 0{,}75\) выполняется только при \(x = 1\). Значит, общих точек нет.
При \(m > 0{,}75\) прямая \(y = m\) снова пересекает часть параболы \(y = 0{,}75x^2\) в одной точке.
Таким образом, прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки при \(m = 0{,}75\).
Ответ: \(m = 0{,}75\).
