Страница 182 номер 794, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(A = 60\) деталей — заказ
\(p_1 = p_2 + 10\) дет./ч — производительность первого рабочего (\(p_2\) — второго)
\(t_2 - t_1 = 3\) ч — первый выполняет заказ быстрее второго

Найти: \(p_2\) — сколько деталей в час делает второй рабочий.

Решение:

Пусть \(p_2 = x\) дет./ч, тогда \(p_1 = (x + 10)\) дет./ч; число \(x\) положительно. Второй рабочий выполняет заказ за \(\frac{60}{x}\) ч, первый — за \(\frac{60}{x + 10}\) ч, то есть на 3 ч быстрее.

Составим уравнение и преобразуем его, воспользовавшись тем, что \(x > 0\). При \(x > 0\) общий знаменатель дробей \(x(x + 10)\) положителен; умножим обе части уравнения на положительное число \(x(x + 10)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 3: \[\begin{aligned} \frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} &= 3; \qquad | \cdot x(x + 10) \\ 60(x + 10) - 60x &= 3x(x + 10); \\ 60x + 600 - 60x &= 3x^2 + 30x; \\ 600 &= 3x^2 + 30x; \\ 3x^2 + 30x - 600 &= 0; \qquad | : 3 \\ x^2 + 10x - 200 &= 0; \\ D &= 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-10 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 30}{2} = -20; \\ x_2 &= \frac{-10 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 30}{2} = 10. \end{aligned}\] Производительность не может быть отрицательной, поэтому первый корень не подходит. Значит, второй рабочий делает 10 деталей в час.

Проверка: второй рабочий выполняет заказ за \(60 : 10 = 6\) (ч); первый делает \(10 + 10 = 20\) деталей в час и выполняет заказ за \(60 : 20 = 3\) (ч), то есть на \(6 - 3 = 3\) (ч) быстрее.

Ответ: 10 деталей.