Страница 190 номер 805, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \[y = \begin{cases} x + 4 & \text{при } x \le -2, \\ x^2 + 2x - 1 & \text{при } x > -2. \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
При \(x \leqslant -2\) график функции совпадает с прямой \(y = x + 4\), проходящей через точки \((-4; 0)\) и \((-2; 2)\). Точка \((-2; 2)\) графику принадлежит: при \(x = -2\) значение функции вычисляется по первой формуле.
При \(x > -2\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 + 2x - 1\). Коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому её ветви направлены вверх. \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1; \\ y_0 &= (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(-1 > -2\), поэтому вершина \((-1; -2)\) принадлежит графику. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -1 & -2 & -1 & 2 \\ \hline \end{array}\] Точка \((-2; -1)\) выколота: при \(x = -2\) значение функции вычисляется по первой формуле.
На части прямой \(y = x + 4\) значения функции не больше 2: если \(x \leqslant -2\), то \(x + 4 \leqslant 2\).
При \(m < -2\) прямая \(y = m\) пересекает только часть прямой \(y = x + 4\) — одна общая точка.
При \(m = -2\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы \((-1; -2)\) и пересекает часть прямой \(y = x + 4\) — две общие точки.
При \(-2 < m < -1\) прямая \(y = m\) пересекает часть параболы в двух точках, левее и правее вершины, и часть прямой \(y = x + 4\) — три общие точки.
При \(m = -1\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((-2; -1)\), которая графику не принадлежит, пересекает часть параболы правее вершины в точке \((0; -1)\) и пересекает часть прямой \(y = x + 4\) — две общие точки.
При \(-1 < m < 2\) прямая \(y = m\) пересекает часть параболы только правее вершины и пересекает часть прямой \(y = x + 4\) — две общие точки.
При \(m = 2\) прямая \(y = m\) проходит через точку \((-2; 2)\) и пересекает часть параболы правее вершины — две общие точки.
При \(m > 2\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы правее вершины — одна общая точка.
Значит, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = -2\) и при \(-1 \leqslant m \leqslant 2\).
Ответ: \(m = -2\); \(-1 \leqslant m \leqslant 2\).
Постройте график функции \[y = \begin{cases} x + 4 & \text{при } x \le -2, \\ x^2 + 2x - 1 & \text{при } x > -2. \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Функция является кусочно-заданной, поэтому построим её график на каждом из промежутков в отдельности.
При \(x \leqslant -2\) график функции совпадает с прямой \(y = x + 4\). Построим эту прямую по двум точкам \((-4; 0)\) и \((-2; 2)\), а затем удалим её часть, которая соответствует \(x > -2\). Точка \((-2; 2)\) графику принадлежит: при \(x = -2\) значение функции вычисляется по первой формуле.
При \(x > -2\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 + 2x - 1\). Коэффициент при \(x^2\) положителен, поэтому её ветви направлены вверх. Найдём координаты вершины параболы: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1; \\ y_0 &= (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2. \end{aligned}\] Абсцисса вершины \(-1 > -2\), поэтому вершина \((-1; -2)\) принадлежит графику. Найдём координаты ещё нескольких точек параболы: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -1 & -2 & -1 & 2 \\ \hline \end{array}\] Построим параболу и удалим её часть, которая соответствует \(x \leqslant -2\). Точка \((-2; -1)\) графику не принадлежит, на графике она выколота: при \(x = -2\) значение функции вычисляется по первой формуле.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. На части прямой \(y = x + 4\) значения функции не больше 2: если \(x \leqslant -2\), то \(x + 4 \leqslant 2\).
При \(m < -2\) прямая \(y = m\) пересекает только часть прямой \(y = x + 4\) — одна общая точка.
При \(m = -2\) прямая \(y = m\) проходит через вершину параболы \((-1; -2)\) и пересекает часть прямой \(y = x + 4\) — две общие точки.
При \(-2 < m < -1\) прямая \(y = m\) пересекает часть параболы в двух точках, левее и правее вершины, и часть прямой \(y = x + 4\) — три общие точки.
При \(m = -1\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((-2; -1)\), которая графику не принадлежит, пересекает часть параболы правее вершины в точке \((0; -1)\) и пересекает часть прямой \(y = x + 4\) — две общие точки.
При \(-1 < m < 2\) прямая \(y = m\) пересекает часть параболы только правее вершины и пересекает часть прямой \(y = x + 4\) — две общие точки.
При \(m = 2\) прямая \(y = m\) проходит через точку \((-2; 2)\) и пересекает часть параболы правее вершины — две общие точки.
При \(m > 2\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы правее вершины — одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = -2\) и при \(-1 \leqslant m \leqslant 2\).
Ответ: \(m = -2\); \(-1 \leqslant m \leqslant 2\).
