Страница 191 номер 820, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = |x^2 - x - 2|\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно четыре общие точки.
Ветви параболы \(y = x^2 - x - 2\) направлены вверх; \(x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0{,}5\), \(y_0 = 0{,}5^2 - 0{,}5 - 2 = -2{,}25\) — вершина \((0{,}5; -2{,}25)\). Нули функции: \[\begin{aligned} x^2 - x - 2 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2. \end{aligned}\] Парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-1; 0)\) и \((2; 0)\), ось \(y\) — в точке \((0; -2)\); ещё точки: \((1; -2)\), \((-2; 4)\), \((3; 4)\).
Ниже оси \(x\) лежит часть параболы между нулями, при \(-1 < x < 2\). Отразим её симметрично относительно оси \(x\), а саму эту часть сотрём: вершина \((0{,}5; -2{,}25)\) перейдёт в точку \((0{,}5; 2{,}25)\), точки \((0; -2)\) и \((1; -2)\) — в точки \((0; 2)\) и \((1; 2)\).
При \(m < 0\) общих точек нет: значения модуля неотрицательны, и весь график лежит не ниже оси \(x\).
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) (ось \(x\)) имеет с графиком две общие точки: \((-1; 0)\) и \((2; 0)\).
При \(0 < m < 2{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей параболы при \(x < -1\) и при \(x > 2\) в одной точке, а отражённую часть с вершиной \((0{,}5; 2{,}25)\) — в двух: всего четыре общие точки.
При \(m = 2{,}25\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((0{,}5; 2{,}25)\) отражённой части и пересекает каждую из частей параболы при \(x < -1\) и при \(x > 2\) в одной точке — три общие точки.
При \(m > 2{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает только части параболы при \(x < -1\) и при \(x > 2\), каждую в одной точке, — две общие точки.
Ответ: \(0 < m < 2{,}25\).
Постройте график функции \(y = |x^2 - x - 2|\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно четыре общие точки.
Для построения графика функции вида \(y = |f(x)|\) нужно построить график функции \(y = f(x)\), а затем часть графика, лежащую ниже оси \(x\), отразить симметрично относительно этой оси; при этом часть графика функции \(y = f(x)\), лежащую ниже оси \(x\), нужно стереть.
Построим параболу \(y = x^2 - x - 2\). Её ветви направлены вверх. Абсцисса вершины \(x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0{,}5\), ордината \(y_0 = 0{,}5^2 - 0{,}5 - 2 = -2{,}25\), то есть вершина — точка \((0{,}5; -2{,}25)\). Найдём нули функции \(y = x^2 - x - 2\): \[\begin{aligned} x^2 - x - 2 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2. \end{aligned}\] Парабола пересекает ось \(x\) в точках \((-1; 0)\) и \((2; 0)\), ось \(y\) — в точке \((0; -2)\); ещё точки: \((1; -2)\), \((-2; 4)\), \((3; 4)\).
Ветви параболы направлены вверх, поэтому ниже оси \(x\) лежит её часть между нулями, при \(-1 < x < 2\). Отразим эту часть симметрично относительно оси \(x\): вершина \((0{,}5; -2{,}25)\) перейдёт в точку \((0{,}5; 2{,}25)\), точки \((0; -2)\) и \((1; -2)\) — в точки \((0; 2)\) и \((1; 2)\). Часть параболы, лежащую ниже оси \(x\), сотрём. Построим график функции \(y = |x^2 - x - 2|\).
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая имеет с графиком ровно четыре общие точки.
При \(m < 0\) общих точек нет: значения модуля неотрицательны, и весь график лежит не ниже оси \(x\).
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) (ось \(x\)) имеет с графиком две общие точки: \((-1; 0)\) и \((2; 0)\).
При \(0 < m < 2{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает каждую из частей параболы при \(x < -1\) и при \(x > 2\) в одной точке, а отражённую часть с вершиной \((0{,}5; 2{,}25)\) — в двух точках: всего четыре общие точки.
При \(m = 2{,}25\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((0{,}5; 2{,}25)\) отражённой части и пересекает каждую из частей параболы при \(x < -1\) и при \(x > 2\) в одной точке — три общие точки.
При \(m > 2{,}25\) прямая \(y = m\) пересекает только части параболы при \(x < -1\) и при \(x > 2\), каждую в одной точке, — две общие точки.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно четыре общие точки при \(0 < m < 2{,}25\).
Ответ: \(0 < m < 2{,}25\).
