Страница 182 номер 790, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дано:
\(s = 140\) км — расстояние между пристанями А и В
\(v_{\text{теч}} = 3\) км/ч — скорость течения
\(t_0 = 1\) ч — на столько позже плота отправилась лодка
\(s_{\text{пл}} = 51\) км — путь плота к моменту возвращения лодки в А
Найти: \(v\) — скорость лодки в неподвижной воде.
Решение:
Плот плывёт со скоростью течения — 3 км/ч.
\(51 : 3 = 17\) (ч) — плыл плот; проверка: \(3 \cdot 17 = 51\).
\(17 - 1 = 16\) (ч) — была в пути лодка: она отправилась на 1 ч позже плота и вернулась в А в тот момент, когда плот проплыл 51 км.
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде через \(x\) км/ч, \(x > 3\) (иначе лодка не смогла бы плыть против течения). Скорость лодки по течению — \((x + 3)\) км/ч, против течения — \((x - 3)\) км/ч. Из А в В лодка шла \(\frac{140}{x + 3}\) ч, из В в А — \(\frac{140}{x - 3}\) ч, а всего 16 ч.
При \(x > 3\) общий знаменатель дробей \((x + 3)(x - 3)\) положителен: \[\begin{aligned} \frac{140}{x + 3} + \frac{140}{x - 3} &= 16; \qquad | \cdot (x + 3)(x - 3) \\ 140(x - 3) + 140(x + 3) &= 16(x + 3)(x - 3); \\ 140x - 420 + 140x + 420 &= 16(x^2 - 9); \\ 280x &= 16x^2 - 144; \\ 16x^2 - 280x - 144 &= 0; \qquad | : 8 \\ 2x^2 - 35x - 18 &= 0; \\ D &= (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369; \\ x_1 &= \frac{35 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 2} = \frac{35 - 37}{4} = -0{,}5; \\ x_2 &= \frac{35 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 2} = \frac{35 + 37}{4} = 18. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень \(-0{,}5\) не подходит; корень 18 удовлетворяет условию \(x > 3\). Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч.
Проверка: по течению лодка шла со скоростью \(18 + 3 = 21\) (км/ч) и затратила \(140 : 21 = \frac{20}{3}\) (ч), против течения — со скоростью \(18 - 3 = 15\) (км/ч) и затратила \(140 : 15 = \frac{28}{3}\) (ч); всего \(\frac{20}{3} + \frac{28}{3} = \frac{48}{3} = 16\) (ч). Вместе с часом, на который лодка отправилась позже, прошло \(16 + 1 = 17\) (ч), и за это время плот проплыл \(3 \cdot 17 = 51\) (км).
Ответ: 18 км/ч.
Дано:
\(s = 140\) км — расстояние между пристанями А и В
\(v_{\text{теч}} = 3\) км/ч — скорость течения
\(t_0 = 1\) ч — на столько позже плота отправилась лодка
\(s_{\text{пл}} = 51\) км — путь плота к моменту возвращения лодки в А
Найти: \(v\) — скорость лодки в неподвижной воде.
Решение:
Собственной скорости у плота нет: он плывёт со скоростью течения, 3 км/ч. Значит, 51 км плот проплыл за \(51 : 3 = 17\) (ч); проверка: \(3 \cdot 17 = 51\). Лодка отправилась на 1 ч позже плота и вернулась в А в тот момент, когда плот проплыл 51 км, поэтому в пути лодка была \(17 - 1 = 16\) (ч).
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде через \(x\) км/ч при условии \(x > 3\) (иначе лодка не смогла бы плыть против течения). Тогда скорости лодки по течению и против течения равны \((x + 3)\) км/ч и \((x - 3)\) км/ч соответственно. Из А в В лодка шла по течению \(\frac{140}{x + 3}\) ч, из В в А — против течения \(\frac{140}{x - 3}\) ч, а всего 16 ч.
Составим уравнение и преобразуем его, воспользовавшись тем, что \(x > 3\). При \(x > 3\) общий знаменатель дробей \((x + 3)(x - 3)\) положителен; умножим обе части уравнения на положительное число \((x + 3)(x - 3)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 8: \[\begin{aligned} \frac{140}{x + 3} + \frac{140}{x - 3} &= 16; \qquad | \cdot (x + 3)(x - 3) \\ 140(x - 3) + 140(x + 3) &= 16(x + 3)(x - 3); \\ 140x - 420 + 140x + 420 &= 16(x^2 - 9); \\ 280x &= 16x^2 - 144; \\ 16x^2 - 280x - 144 &= 0; \qquad | : 8 \\ 2x^2 - 35x - 18 &= 0; \\ D &= (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{35 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 2} = \frac{35 - 37}{4} = -0{,}5; \\ x_2 &= \frac{35 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 2} = \frac{35 + 37}{4} = 18. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому первый корень не подходит; второй корень удовлетворяет условию \(x > 3\). Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна 18 км/ч.
Проверка: по течению лодка шла со скоростью \(18 + 3 = 21\) (км/ч) и затратила \(140 : 21 = \frac{20}{3}\) (ч), против течения — со скоростью \(18 - 3 = 15\) (км/ч) и затратила \(140 : 15 = \frac{28}{3}\) (ч); всего \(\frac{20}{3} + \frac{28}{3} = \frac{48}{3} = 16\) (ч). Вместе с часом, на который лодка отправилась позже, прошло \(16 + 1 = 17\) (ч), и за это время плот проплыл \(3 \cdot 17 = 51\) (км).
Ответ: 18 км/ч.
