Страница 182 номер 788, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 70\) км — расстояние между городами А и В
\(v_2 = v_1 + 4\) км/ч — скорость на обратном пути (\(v_1\) — на пути из А в В)
\(t_{\text{ост}} = 2\) ч — остановка на обратном пути
\(t_2 = t_1\) — время на обратный путь и время на путь из А в В

Найти: \(v_1\) — скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение:

Пусть \(v_1 = x\) км/ч, тогда \(v_2 = (x + 4)\) км/ч; скорость \(x\) положительна. На путь из А в В велосипедист затратил \(\frac{70}{x}\) ч. На обратном пути он был в движении \(\frac{70}{x + 4}\) ч и ещё 2 ч стоял, а всего затратил столько же времени, сколько на путь из А в В.

Составим уравнение и преобразуем его, воспользовавшись тем, что \(x > 0\). Перенесём дробь \(\frac{70}{x + 4}\) в левую часть. При \(x > 0\) общий знаменатель дробей \(x(x + 4)\) положителен; умножим обе части уравнения на положительное число \(x(x + 4)\), раскроем скобки, перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на 2: \[\begin{aligned} \frac{70}{x} &= \frac{70}{x + 4} + 2; \\ \frac{70}{x} - \frac{70}{x + 4} &= 2; \qquad | \cdot x(x + 4) \\ 70(x + 4) - 70x &= 2x(x + 4); \\ 70x + 280 - 70x &= 2x^2 + 8x; \\ 280 &= 2x^2 + 8x; \\ 2x^2 + 8x - 280 &= 0; \qquad | : 2 \\ x^2 + 4x - 140 &= 0; \\ D &= 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-4 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 24}{2} = -14; \\ x_2 &= \frac{-4 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 24}{2} = 10. \end{aligned}\] Скорость не может быть отрицательной, поэтому первый корень не подходит. Значит, на пути из А в В скорость велосипедиста была 10 км/ч.

Проверка: из А в В велосипедист ехал \(70 : 10 = 7\) (ч); на обратном пути его скорость была \(10 + 4 = 14\) (км/ч), и на обратный путь он затратил \(70 : 14 + 2 = 5 + 2 = 7\) (ч) — столько же.

Ответ: 10 км/ч.