Страница 190 номер 804, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При \(x < 1\) график функции совпадает с прямой \(y = 4x - 6\), при \(1 \leqslant x \leqslant 4\) — с прямой \(y = -2{,}5x + 5\), а при \(x > 4\) — с прямой \(y = x - 9\). Эти прямые проходят соответственно через точки \((0; -6)\) и \((1; -2)\), \((1; 2{,}5)\) и \((4; -5)\), \((4; -5)\) и \((9; 0)\).
Вторая часть графика — отрезок с концами \((1; 2{,}5)\) и \((4; -5)\); оба конца графику принадлежат, так как неравенства \(1 \leqslant x \leqslant 4\) нестрогие. Точка \((1; -2)\) выколота: при \(x = 1\) значение функции вычисляется по второй формуле. Третья часть графика примыкает к точке \((4; -5)\): при \(x = 4\) формула \(y = x - 9\) даёт то же значение \(-5\), что и вторая формула.
На первой части графика значения функции меньше \(-2\) (если \(x < 1\), то \(4x - 6 < -2\)), на второй — от \(-5\) до \(2{,}5\), на третьей — больше \(-5\) (если \(x > 4\), то \(x - 9 > -5\)).
При \(m < -5\) прямая \(y = m\) пересекает только первую часть графика — одна общая точка.
При \(m = -5\) прямая \(y = m\) пересекает первую часть графика и проходит через точку \((4; -5)\) — две общие точки.
При \(-5 < m < -2\) прямая \(y = m\) пересекает все три части графика — три общие точки.
При \(m = -2\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((1; -2)\), которая графику не принадлежит, и пересекает вторую и третью части графика — две общие точки.
При \(-2 < m < 2{,}5\) прямая \(y = m\) пересекает вторую и третью части графика — две общие точки.
При \(m = 2{,}5\) прямая \(y = m\) проходит через точку \((1; 2{,}5)\) и пересекает третью часть графика — две общие точки.
При \(m > 2{,}5\) прямая \(y = m\) пересекает только третью часть графика — одна общая точка.
Значит, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(-5 < m < -2\).
Ответ: \(-5 < m < -2\).
Функция является кусочно-заданной, поэтому построим её график на каждом из промежутков в отдельности.
При \(x < 1\) график функции совпадает с прямой \(y = 4x - 6\), при \(1 \leqslant x \leqslant 4\) — с прямой \(y = -2{,}5x + 5\), а при \(x > 4\) — с прямой \(y = x - 9\). Таким образом, график функции состоит из частей этих прямых. Для того чтобы построить прямые, возьмём по две точки на каждой из них: \((0; -6)\) и \((1; -2)\), \((1; 2{,}5)\) и \((4; -5)\), \((4; -5)\) и \((9; 0)\), — а затем удалим лишние части прямых.
Вторая часть графика — отрезок с концами \((1; 2{,}5)\) и \((4; -5)\); оба конца графику принадлежат, так как неравенства \(1 \leqslant x \leqslant 4\) нестрогие. Точка \((1; -2)\) графику не принадлежит, на графике она выколота: при \(x = 1\) значение функции вычисляется по второй формуле. Третья часть графика примыкает к точке \((4; -5)\): при \(x = 4\) формула \(y = x - 9\) даёт то же значение \(-5\), что и вторая формула.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. На первой части графика значения функции меньше \(-2\) (если \(x < 1\), то \(4x - 6 < -2\)), на второй — от \(-5\) до \(2{,}5\), на третьей — больше \(-5\) (если \(x > 4\), то \(x - 9 > -5\)).
При \(m < -5\) прямая \(y = m\) пересекает только первую часть графика — одна общая точка.
При \(m = -5\) прямая \(y = m\) пересекает первую часть графика и проходит через точку \((4; -5)\) — две общие точки.
При \(-5 < m < -2\) прямая \(y = m\) пересекает все три части графика — три общие точки.
При \(m = -2\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((1; -2)\), которая графику не принадлежит, и пересекает вторую и третью части графика — две общие точки.
При \(-2 < m < 2{,}5\) прямая \(y = m\) пересекает вторую и третью части графика — две общие точки.
При \(m = 2{,}5\) прямая \(y = m\) проходит через точку \((1; 2{,}5)\) и пересекает третью часть графика — две общие точки.
При \(m > 2{,}5\) прямая \(y = m\) пересекает только третью часть графика — одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(-5 < m < -2\).
Ответ: \(-5 < m < -2\).
