Страница 191 номер 823, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \[y = \begin{cases} x^2 - 10x + 25 & \text{при } x \ge 4, \\ x - 2 & \text{при } x < 4. \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
При \(x < 4\) график — часть прямой \(y = x - 2\), проходящей через точки \((0; -2)\) и \((4; 2)\); точка \((4; 2)\) графику не принадлежит.
При \(x \geqslant 4\) график — часть параболы \(y = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\) с вершиной \((5; 0)\), ветви направлены вверх; ещё точки: \((4; 1)\), \((6; 1)\), \((7; 4)\). Точка \((4; 1)\) графику принадлежит.
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает только часть прямой \(y = x - 2\) — одна общая точка.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) пересекает часть прямой \(y = x - 2\) в точке \((2; 0)\) и проходит через вершину параболы \((5; 0)\) — две общие точки.
При \(0 < m < 1\) прямая \(y = m\) имеет одну общую точку с частью прямой и две — с частью параболы, по одной с каждой стороны от вершины: всего три общие точки.
При \(m = 1\) прямая \(y = 1\) пересекает часть прямой в точке \((3; 1)\), а часть параболы — в точках \((4; 1)\) и \((6; 1)\): три общие точки.
При \(1 < m < 2\) прямая \(y = m\) имеет одну общую точку с частью прямой и одну — с частью параболы правее точки \((6; 1)\): две общие точки.
При \(m = 2\) прямая \(y = 2\) проходит через выколотую точку \((4; 2)\) и с частью прямой \(y = x - 2\) общих точек не имеет; часть параболы она пересекает в одной точке — одна общая точка.
При \(m > 2\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы — одна общая точка.
Ответ: \(m = 0\); \(1 < m < 2\).
Постройте график функции \[y = \begin{cases} x^2 - 10x + 25 & \text{при } x \ge 4, \\ x - 2 & \text{при } x < 4. \end{cases}\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Функция является кусочно-заданной, поэтому её график строим на каждом из промежутков в отдельности.
При \(x < 4\) график функции совпадает с прямой \(y = x - 2\). Построим эту прямую по двум точкам: \((0; -2)\) и \((4; 2)\). Затем удалим её часть, которая соответствует \(x \geqslant 4\); точка \((4; 2)\) графику не принадлежит.
При \(x \geqslant 4\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 - 10x + 25\). Так как \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\), вершина этой параболы находится в точке \((5; 0)\), а её ветви направлены вверх. Найдём координаты ещё нескольких точек: \((4; 1)\), \((6; 1)\), \((7; 4)\). Удалим часть параболы, которая соответствует \(x < 4\); точка \((4; 1)\) графику принадлежит.
Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая имеет с графиком ровно две общие точки.
При \(m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает только часть прямой \(y = x - 2\) — одна общая точка.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) пересекает часть прямой \(y = x - 2\) в точке \((2; 0)\) и проходит через вершину параболы \((5; 0)\) — две общие точки.
При \(0 < m < 1\) прямая \(y = m\) имеет одну общую точку с частью прямой \(y = x - 2\) и две — с частью параболы, по одной с каждой стороны от вершины: всего три общие точки.
При \(m = 1\) прямая \(y = 1\) пересекает часть прямой \(y = x - 2\) в точке \((3; 1)\), а часть параболы — в точках \((4; 1)\) и \((6; 1)\): три общие точки.
При \(1 < m < 2\) прямая \(y = m\) имеет одну общую точку с частью прямой \(y = x - 2\) и одну — с частью параболы правее точки \((6; 1)\): две общие точки.
При \(m = 2\) прямая \(y = 2\) проходит через выколотую точку \((4; 2)\) и с частью прямой \(y = x - 2\) общих точек не имеет; часть параболы она пересекает в одной точке — одна общая точка.
При \(m > 2\) прямая \(y = m\) пересекает только часть параболы — одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = 0\) и при \(1 < m < 2\).
Ответ: \(m = 0\); \(1 < m < 2\).
