Страница 177 номер 783, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Заметим, что \(x \neq 0\): при \(x = 0\) произведение \(xy\) равно нулю при любом \(y\), и второе уравнение системы не выполняется. Выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения системы: \(y = \frac{10}{x}\) — и подставим это выражение в первое уравнение. Получим уравнение \(\frac{100}{x^2} - x^2 = 21\). Умножим обе его части на \(x^2\) — это число не равно нулю, так как \(x \neq 0\): \[\begin{aligned} \frac{100}{x^2} - x^2 &= 21; \qquad | \cdot x^2 \\ 100 - x^4 &= 21x^2; \\ x^4 + 21x^2 - 100 &= 0. \end{aligned}\] Сделав замену \(x^2 = t\), получаем квадратное уравнение \(t^2 + 21t - 100 = 0\). По теореме, обратной теореме Виета, его корнями являются числа \(-25\) и 4 (\(-25 + 4 = -21\), \(-25 \cdot 4 = -100\)).

При \(t = -25\) получаем \(x^2 = -25\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому в этом случае решений нет.

При \(t = 4\) получаем \(x^2 = 4\), откуда \(x = -2\) или \(x = 2\).

Подставляя найденные значения в формулу \(y = \frac{10}{x}\), получаем: при \(x = -2\) значение \(y = -5\), при \(x = 2\) значение \(y = 5\). Проверка: \((-5)^2 - (-2)^2 = 25 - 4 = 21\) и \(-2 \cdot (-5) = 10\);
\(5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21\) и \(2 \cdot 5 = 10\). Значит, решения системы — пары \((-2; -5)\) и \((2; 5)\).

б) Сложим уравнения системы — слагаемые \(2x\) и \(-2x\) взаимно уничтожатся: \[\begin{aligned} (2x + 5y^2) + (y^2 - 2x) &= 10 + 14; \\ 6y^2 &= 24; \qquad | : 6 \\ y^2 &= 4. \end{aligned}\] Значит, \(y = -2\) или \(y = 2\). Подставим \(y^2 = 4\) во второе уравнение системы: \[\begin{aligned} 4 - 2x &= 14; \\ -2x &= 10; \qquad | : (-2) \\ x &= -5. \end{aligned}\] Для обоих найденных значений \(y\) получаем \(x = -5\). Проверка: при \(x = -5\) и \(y^2 = 4\) левые части уравнений системы равны \(2 \cdot (-5) + 5 \cdot 4 = -10 + 20 = 10\) и \(4 - 2 \cdot (-5) = 4 + 10 = 14\). Значит, решения системы — пары \((-5; -2)\) и \((-5; 2)\).

в) Выражения \(\frac{1}{y}\) и \(\frac{2}{y}\) имеют смысл при \(y \neq 0\). Умножим обе части первого уравнения системы на \(-2\): \[\begin{cases} x^2 + \frac{1}{y} = -4, & | \cdot (-2) \\ \frac{2}{y} + 5x^2 = 4; \end{cases}\] \[\begin{cases} -2x^2 - \frac{2}{y} = 8, \\ \frac{2}{y} + 5x^2 = 4. \end{cases}\] Сложим уравнения полученной системы — слагаемые \(-\frac{2}{y}\) и \(\frac{2}{y}\) взаимно уничтожатся: \[\begin{aligned} \left(-2x^2 - \frac{2}{y}\right) + \left(\frac{2}{y} + 5x^2\right) &= 8 + 4; \\ 3x^2 &= 12; \qquad | : 3 \\ x^2 &= 4. \end{aligned}\] Значит, \(x = -2\) или \(x = 2\). Подставим \(x^2 = 4\) в первое уравнение исходной системы: \(4 + \frac{1}{y} = -4\);
\(\frac{1}{y} = -8\);
\(y = -\frac{1}{8} = -0{,}125\). Для обоих найденных значений \(x\) получаем \(y = -0{,}125\). Проверка: при \(x^2 = 4\) и \(\frac{1}{y} = -8\) левые части уравнений системы равны \(4 + (-8) = -4\) и \(2 \cdot (-8) + 5 \cdot 4 = -16 + 20 = 4\). Значит, решения системы — пары \((-2; -0{,}125)\) и \((2; -0{,}125)\).

Ответ: а) \((-2; -5)\); \((2; 5)\); б) \((-5; -2)\); \((-5; 2)\); в) \((-2; -0{,}125)\); \((2; -0{,}125)\).