Страница 191 номер 814, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{2x + 6}{2x^2 + 6x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек.
Функция не определена, если знаменатель дроби равен нулю: \(2x^2 + 6x = 2x(x + 3)\), то есть при \(x = 0\) или \(x = -3\). Для других значений \(x\) сократим дробь на \(2(x + 3)\) — этот множитель не равен нулю: \[y = \frac{2x + 6}{2x^2 + 6x} = \frac{2(x + 3)}{2x(x + 3)} = \frac{1}{x}.\] Следовательно, графиком функции является гипербола \(y = \frac{1}{x}\) с выколотой точкой, абсцисса которой равна \(-3\). Её ордината по упрощённой формуле: \(\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}\), то есть выколота точка \(\left(-3; -\frac{1}{3}\right)\). Асимптоты гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) — оси координат.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -2 & 2 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Значение \(m \ne 0\) функция \(y = \frac{1}{x}\) принимает ровно при одном значении \(x\), а именно при \(x = \frac{1}{m}\); значения 0 она не принимает.
При \(m < -\frac{1}{3}\) прямая \(y = m\) пересекает график ровно в одной точке.
При \(m = -\frac{1}{3}\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \(\left(-3; -\frac{1}{3}\right)\). Других точек гиперболы на этой прямой нет, поэтому общих точек нет.
При \(-\frac{1}{3} < m < 0\) будет одна общая точка.
При \(m = 0\) прямая \(y = m\) совпадает с осью \(x\) — асимптотой гиперболы — и не имеет с графиком общих точек.
При \(m > 0\) будет одна общая точка.
Значит, прямая \(y = m\) не имеет общих точек с графиком при \(m = -\frac{1}{3}\) и при \(m = 0\).
Ответ: \(m = -\frac{1}{3}\); \(m = 0\).
Постройте график функции \(y = \frac{2x + 6}{2x^2 + 6x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком общих точек.
Функция не определена, если знаменатель дроби равен нулю: \(2x^2 + 6x = 2x(x + 3)\), то есть при \(x = 0\) или \(x = -3\). Для других значений \(x\) разложим числитель на множители и сократим дробь на \(2(x + 3)\) — этот множитель не равен нулю: \[y = \frac{2x + 6}{2x^2 + 6x} = \frac{2(x + 3)}{2x(x + 3)} = \frac{1}{x}.\] Следовательно, графиком функции является гипербола \(y = \frac{1}{x}\) с выколотой точкой, абсцисса которой равна \(-3\). Ординату этой точки найдём по упрощённой формуле: \(\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}\), то есть выколота точка \(\left(-3; -\frac{1}{3}\right)\). Асимптоты гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) — оси координат.
Построим график функции, найдя координаты нескольких точек: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -2 & 2 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Значение \(m \ne 0\) функция \(y = \frac{1}{x}\) принимает ровно при одном значении \(x\), а именно при \(x = \frac{1}{m}\); значения 0 она не принимает.
При \(m < -\frac{1}{3}\) прямая \(y = m\) пересекает график ровно в одной точке.
При \(m = -\frac{1}{3}\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \(\left(-3; -\frac{1}{3}\right)\). Других точек гиперболы на этой прямой нет, поэтому общих точек нет.
При \(-\frac{1}{3} < m < 0\) будет одна общая точка.
При \(m = 0\) прямая \(y = m\) совпадает с осью \(x\) — асимптотой гиперболы — и не имеет с графиком общих точек.
При \(m > 0\) будет одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) не имеет общих точек с графиком при \(m = -\frac{1}{3}\) и при \(m = 0\).
Ответ: \(m = -\frac{1}{3}\); \(m = 0\).
