Страница 190 номер 806, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При \(x < -2\) график функции совпадает с прямой \(y = 3x + 8\), при \(-2 \leqslant x \leqslant 3\) — с прямой \(y = x\), а при \(x > 3\) — с прямой \(y = -0{,}5x + 0{,}5\). Эти прямые проходят соответственно через точки \((-3; -1)\) и \((-2; 2)\), \((-2; -2)\) и \((3; 3)\), \((3; -1)\) и \((5; -2)\).
Вторая часть графика — отрезок с концами \((-2; -2)\) и \((3; 3)\); оба конца графику принадлежат, так как неравенства \(-2 \leqslant x \leqslant 3\) нестрогие. Точки \((-2; 2)\) и \((3; -1)\) выколоты: при \(x = -2\) и при \(x = 3\) значение функции вычисляется по второй формуле.
На первой части графика значения функции меньше 2 (если \(x < -2\), то \(3x + 8 < 2\)), на второй — от \(-2\) до 3, на третьей — меньше \(-1\) (если \(x > 3\), то \(-0{,}5x + 0{,}5 < -1\)).
При \(m < -2\) прямая \(y = m\) пересекает первую и третью части графика — две общие точки.
При \(m = -2\) прямая \(y = m\) проходит через точку \((-2; -2)\) и пересекает первую и третью части графика — три общие точки.
При \(-2 < m < -1\) прямая \(y = m\) пересекает все три части графика — три общие точки.
При \(m = -1\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((3; -1)\), которая графику не принадлежит, и пересекает первую и вторую части графика — две общие точки.
При \(-1 < m < 2\) прямая \(y = m\) пересекает первую и вторую части графика — две общие точки.
При \(m = 2\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((-2; 2)\), которая графику не принадлежит, и пересекает вторую часть графика — одна общая точка.
При \(2 < m < 3\) прямая \(y = m\) пересекает только вторую часть графика — одна общая точка.
При \(m = 3\) прямая \(y = m\) проходит через точку \((3; 3)\) — одна общая точка.
При \(m > 3\) общих точек нет.
Значит, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(-2 \leqslant m < -1\).
Ответ: \(-2 \leqslant m < -1\).
Функция является кусочно-заданной, поэтому построим её график на каждом из промежутков в отдельности.
При \(x < -2\) график функции совпадает с прямой \(y = 3x + 8\), при \(-2 \leqslant x \leqslant 3\) — с прямой \(y = x\), а при \(x > 3\) — с прямой \(y = -0{,}5x + 0{,}5\). Таким образом, график функции состоит из частей этих прямых. Для того чтобы построить прямые, возьмём по две точки на каждой из них: \((-3; -1)\) и \((-2; 2)\), \((-2; -2)\) и \((3; 3)\), \((3; -1)\) и \((5; -2)\), — а затем удалим лишние части прямых.
Вторая часть графика — отрезок с концами \((-2; -2)\) и \((3; 3)\); оба конца графику принадлежат, так как неравенства \(-2 \leqslant x \leqslant 3\) нестрогие. Точки \((-2; 2)\) и \((3; -1)\) графику не принадлежат, на графике они выколоты: при \(x = -2\) и при \(x = 3\) значение функции вычисляется по второй формуле.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. На первой части графика значения функции меньше 2 (если \(x < -2\), то \(3x + 8 < 2\)), на второй — от \(-2\) до 3, на третьей — меньше \(-1\) (если \(x > 3\), то \(-0{,}5x + 0{,}5 < -1\)).
При \(m < -2\) прямая \(y = m\) пересекает первую и третью части графика — две общие точки.
При \(m = -2\) прямая \(y = m\) проходит через точку \((-2; -2)\) и пересекает первую и третью части графика — три общие точки.
При \(-2 < m < -1\) прямая \(y = m\) пересекает все три части графика — три общие точки.
При \(m = -1\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((3; -1)\), которая графику не принадлежит, и пересекает первую и вторую части графика — две общие точки.
При \(-1 < m < 2\) прямая \(y = m\) пересекает первую и вторую части графика — две общие точки.
При \(m = 2\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((-2; 2)\), которая графику не принадлежит, и пересекает вторую часть графика — одна общая точка.
При \(2 < m < 3\) прямая \(y = m\) пересекает только вторую часть графика — одна общая точка.
При \(m = 3\) прямая \(y = m\) проходит через точку \((3; 3)\) — одна общая точка.
При \(m > 3\) общих точек нет.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(-2 \leqslant m < -1\).
Ответ: \(-2 \leqslant m < -1\).
