Страница 192 номер 833, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = x|x| - |x| - 3x\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Если \(x \geqslant 0\), то \(|x| = x\) и \[y = x \cdot x - x - 3x = x^2 - 4x.\] Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\) и \[y = x \cdot (-x) - (-x) - 3x = -x^2 - 2x.\] Значит, \[y = \begin{cases} x^2 - 4x & \text{при } x \geqslant 0, \\ -x^2 - 2x & \text{при } x < 0. \end{cases}\] Выделим полные квадраты: \[\begin{aligned} x^2 - 4x &= (x - 2)^2 - 4; \\ -x^2 - 2x &= -(x + 1)^2 + 1. \end{aligned}\] При \(x \geqslant 0\) график — часть параболы \(y = x^2 - 4x\) с вершиной \((2; -4)\), ветви направлены вверх; ещё точки: \((1; -3)\), \((3; -3)\), \((4; 0)\), \((5; 5)\).
При \(x < 0\) график — часть параболы \(y = -x^2 - 2x\) с вершиной \((-1; 1)\), ветви направлены вниз; ещё точки: \((-2; 0)\), \((-3; -3)\).
При \(x = 0\) оба выражения равны нулю, поэтому части графика соединяются в начале координат — точке \(O(0; 0)\), которая принадлежит графику.
Левая часть графика — при \(x < 0\), правая — при \(x \geqslant 0\).
При \(m < -4\) прямая \(y = m\) пересекает только левую часть, в одной точке, — одна общая точка.
При \(m = -4\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((2; -4)\) правой части и пересекает левую часть в одной точке — две общие точки.
При \(-4 < m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть в двух точках, а левую — в одной: три общие точки.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) проходит через точку \((-2; 0)\) левой части, точку \(O(0; 0)\) и точку \((4; 0)\) правой части — три общие точки.
При \(0 < m < 1\) прямая \(y = m\) пересекает левую часть в двух точках, а правую — в одной: три общие точки.
При \(m = 1\) прямая \(y = 1\) проходит через вершину \((-1; 1)\) левой части и пересекает правую часть в одной точке — две общие точки.
При \(m > 1\) прямая \(y = m\) пересекает только правую часть, в одной точке, — одна общая точка.
Ответ: \(m = -4\); \(m = 1\).
Постройте график функции \(y = x|x| - |x| - 3x\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Раскроем модуль по определению. Если \(x \geqslant 0\), то \(|x| = x\) и \[y = x \cdot x - x - 3x = x^2 - 4x.\] Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\) и \[y = x \cdot (-x) - (-x) - 3x = -x^2 - 2x.\] Представим функцию как кусочно-заданную: \[y = \begin{cases} x^2 - 4x & \text{при } x \geqslant 0, \\ -x^2 - 2x & \text{при } x < 0. \end{cases}\] На каждом из промежутков функция является квадратичной, поэтому её график состоит из частей двух парабол. Выделим полные квадраты: \[\begin{aligned} x^2 - 4x &= (x - 2)^2 - 4; \\ -x^2 - 2x &= -(x + 1)^2 + 1. \end{aligned}\] При \(x \geqslant 0\) график функции совпадает с параболой \(y = x^2 - 4x\). Её ветви направлены вверх, а вершина расположена в точке \((2; -4)\). Ещё несколько её точек: \((1; -3)\), \((3; -3)\), \((4; 0)\), \((5; 5)\).
При \(x < 0\) график функции совпадает с параболой \(y = -x^2 - 2x\). Её ветви направлены вниз, а вершина расположена в точке \((-1; 1)\). Ещё несколько её точек: \((-2; 0)\), \((-3; -3)\).
При \(x = 0\) оба выражения равны нулю, поэтому части графика соединяются в начале координат — точке \(O(0; 0)\), которая принадлежит графику.
Построим график функции.
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Определим, при каких значениях \(m\) эта прямая имеет с графиком ровно две общие точки. Назовём левой частью графика его часть при \(x < 0\), правой — при \(x \geqslant 0\).
При \(m < -4\) прямая \(y = m\) пересекает только левую часть, в одной точке, — одна общая точка.
При \(m = -4\) прямая \(y = m\) проходит через вершину \((2; -4)\) правой части и пересекает левую часть в одной точке — две общие точки.
При \(-4 < m < 0\) прямая \(y = m\) пересекает правую часть в двух точках, а левую — в одной: три общие точки.
При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) проходит через точку \((-2; 0)\) левой части, точку \(O(0; 0)\) и точку \((4; 0)\) правой части — три общие точки.
При \(0 < m < 1\) прямая \(y = m\) пересекает левую часть в двух точках, а правую — в одной: три общие точки.
При \(m = 1\) прямая \(y = 1\) проходит через вершину \((-1; 1)\) левой части и пересекает правую часть в одной точке — две общие точки.
При \(m > 1\) прямая \(y = m\) пересекает только правую часть, в одной точке, — одна общая точка.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = -4\) и при \(m = 1\).
Ответ: \(m = -4\); \(m = 1\).
