Страница 191 номер 815, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12)}{x^2 - 4x + 3}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Корни трёхчлена \(x^2 - 3x + 2\) — числа 1 и 2 (их сумма равна 3, а произведение равно 2), корни трёхчлена \(x^2 - 7x + 12\) — числа 3 и 4 (сумма 7, произведение 12), корни трёхчлена \(x^2 - 4x + 3\) — числа 1 и 3 (сумма 4, произведение 3). Поэтому \[\begin{aligned} x^2 - 3x + 2 &= (x - 1)(x - 2); \\ x^2 - 7x + 12 &= (x - 3)(x - 4); \\ x^2 - 4x + 3 &= (x - 1)(x - 3). \end{aligned}\] Функция не определена, если знаменатель равен нулю, то есть при \(x = 1\) и при \(x = 3\). Для других значений \(x\) сократим дробь на \((x - 1)(x - 3)\) — этот множитель не равен нулю: \[y = \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(x - 1)(x - 3)} = (x - 2)(x - 4) = x^2 - 6x + 8.\] Следовательно, графиком функции является парабола \(y = x^2 - 6x + 8\) с двумя выколотыми точками, абсциссы которых равны 1 и 3. Ветви параболы направлены вверх. \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3; \\ y_0 &= 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = -1. \end{aligned}\] Абсцисса вершины равна 3, поэтому выколота сама вершина \((3; -1)\). Ордината второй выколотой точки по упрощённой формуле: \(1^2 - 6 \cdot 1 + 8 = 3\), то есть выколота точка \((1; 3)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 8 & 0 & 0 & 3 & 8 \\ \hline \end{array}\]
Прямая \(y = m\) при \(m > -1\) пересекает параболу \(y = x^2 - 6x + 8\) в двух точках, при \(m = -1\) проходит только через её вершину, а при \(m < -1\) общих точек с параболой не имеет. Выколотые точки лежат на прямых \(y = -1\) и \(y = 3\), поэтому при остальных значениях \(m\) у прямой \(y = m\) с графиком столько же общих точек, сколько с параболой.
При \(m < -1\) общих точек нет.
При \(m = -1\) прямая \(y = m\) проходит только через вершину параболы, а эта точка выколота, — общих точек нет.
При \(-1 < m < 3\) будет две общие точки.
При \(m = 3\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((1; 3)\) и через точку \((5; 3)\) графика — одна общая точка.
При \(m > 3\) будет две общие точки.
Значит, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку при \(m = 3\).
Ответ: \(m = 3\).
Постройте график функции \(y = \frac{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12)}{x^2 - 4x + 3}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни трёхчлена \(x^2 - 3x + 2\) — числа 1 и 2 (их сумма равна 3, а произведение равно 2), корни трёхчлена \(x^2 - 7x + 12\) — числа 3 и 4 (сумма 7, произведение 12), корни трёхчлена \(x^2 - 4x + 3\) — числа 1 и 3 (сумма 4, произведение 3). Поэтому \[\begin{aligned} x^2 - 3x + 2 &= (x - 1)(x - 2); \\ x^2 - 7x + 12 &= (x - 3)(x - 4); \\ x^2 - 4x + 3 &= (x - 1)(x - 3). \end{aligned}\] Функция не определена, если знаменатель равен нулю, то есть при \(x = 1\) и при \(x = 3\). Для других значений \(x\) сократим дробь на \((x - 1)(x - 3)\) — этот множитель не равен нулю: \[y = \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(x - 1)(x - 3)} = (x - 2)(x - 4) = x^2 - 6x + 8.\] Следовательно, графиком функции является парабола \(y = x^2 - 6x + 8\) с двумя выколотыми точками, абсциссы которых равны 1 и 3. Ветви параболы направлены вверх. Найдём координаты её вершины: \[\begin{aligned} x_0 &= -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3; \\ y_0 &= 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = -1. \end{aligned}\] Абсцисса вершины равна 3, поэтому выколота сама вершина \((3; -1)\). Ординату второй выколотой точки найдём по упрощённой формуле: \(1^2 - 6 \cdot 1 + 8 = 3\), то есть выколота точка \((1; 3)\).
Построим график функции, найдя координаты ещё нескольких точек параболы: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 8 & 0 & 0 & 3 & 8 \\ \hline \end{array}\]
При каждом значении \(m\) графиком функции \(y = m\) является прямая, параллельная оси \(x\) или совпадающая с ней. Прямая \(y = m\) при \(m > -1\) пересекает параболу \(y = x^2 - 6x + 8\) в двух точках, при \(m = -1\) проходит только через её вершину, а при \(m < -1\) общих точек с параболой не имеет. Выколотые точки лежат на прямых \(y = -1\) и \(y = 3\), поэтому при остальных значениях \(m\) у прямой \(y = m\) с графиком столько же общих точек, сколько с параболой.
При \(m < -1\) общих точек нет.
При \(m = -1\) прямая \(y = m\) проходит только через вершину параболы, а эта точка выколота, — общих точек нет.
При \(-1 < m < 3\) будет две общие точки.
При \(m = 3\) прямая \(y = m\) проходит через выколотую точку \((1; 3)\) и через точку \((5; 3)\) графика — одна общая точка.
При \(m > 3\) будет две общие точки.
Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку при \(m = 3\).
Ответ: \(m = 3\).
